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高斯整数环素元及其商环性质的研究

作　者: 齐丽丽
导　师: 魏贵民；张萍
学　校: 成都理工大学
专　业: 应用数学
关键词: 高斯整数环素元理想商环范数
分类号: O153.3
类　型: 硕士论文
年　份: 2008年
下　载: 132次
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内容摘要

高斯整数环是很典型且构造特殊的一类环，在环论中占很重要的地位，基于其重要的地位和价值，既融入环论的思想，同时又有数论的思想贯穿其中，数学家、国内外学者们得出了一些有重要意义的理论结果。笔者鉴于前人的研究思路和研究方法，在高斯整数环研究的理论基础上寻找新的方法，在前人得到的部分成果及基础上，又进一步拓展研究。本课题针对高斯整数环素元的形式及高斯整数环商环性质进行了深入研究和部分的创新：1．对高斯整数环的基本性质进行分析和证明，详细论证了高斯整数环是欧氏环，高斯整数环是主理想环，高斯整数环是唯一分解环。2．讨论了高斯整数环素元的形式，给出了一些整数素元的表达形式和一些非整数素元的表达形式，并且给出了高斯整数环的几种非素元的表达形式，且证明给出高斯整数环中单位的形式。3．详细讨论证明了当主理想不同情况下高斯商环元的个数的情况，并且利用中的中国剩余定理和环论相结合的方法以及同余的方法分别证明了的猜想(Ⅰ)：当主理想N=(m+ni)时，Z[i]／(m+ni)的元的个数不超过m~2+n~2个，且得出结论：Z[i]／(m+mi)的元的个数就是m~2+n~2个。4．给出高斯整数环商环的若干性质，通过给出一个同构映射，证明了Z[i]兰Z[x]／(x~2+1)。

全文目录

摘要  4-5
ABSTRACT  5-7
目录  7-9
第1章引言  9-13
  1.1 论文的选题依据及意义  9-10
  1.2 国内外研究历史及现状  10-11
  1.3 研究思路与方法及创新点  11-13
第2章预备知识  13-22
  2.1 符号和术语  13-14
  2.2 代数相关定义及定理  14-22
    2.2.1 数论基础知识  14-16
    2.2.2 群论基础知识  16-18
    2.2.3 环论基础知识  18-22
第3章高斯整数环的一些基本性质  22-24
  3.1 高斯整数环是欧氏环  22
  3.2 高斯整数环是主理想环  22-23
  3.3 高斯整数环是唯一分解环  23-24
第4章高斯整数环中素元的形成  24-27
  4.1 Z[i]中的单位  24
  4.2 Z[i]中的素元当且仅当是不可约元  24
  4.3 Z[i]中的整数素元  24-25
  4.4 Z[i]中的非整数素元  25-27
第5章高斯整数环商环的一些性质  27-35
  5.1 Z[i]的主理想N不同情况下商环Z[i]/N的个数研究  27-33
    5.1.1 利用环论思想的研究  27-28
    5.1.2 利用同余理论和等价关系的研究  28-33
      5.1.2.1 同余理论和等价关系基础知识  28-30
      5.1.2.2 同余理论得到的主要结果  30-33
  5.2 主理想N不同情况下商环的一些性质  33-35
结论  35-36
致谢  36-37
参考文献  37-38

高斯整数环素元及其商环性质的研究

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