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有限域上一类线性方程的性质

作　者: 庄金成
导　师: 展涛；王明强
学　校: 山东大学
专　业: 信息安全
关键词: 有限域子集合线性方程
分类号: O241.6
类　型: 硕士论文
年　份: 2011年
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内容摘要

有限域[2]又称作Galois域,对每一个素数p和任意正整数n,存在个唯一的含有pn个元素的有限域,即Xpn-X在F=Z/(p)上的分裂域.对于一般的有限域上的线性方程的解有很好的的结果[9].Gauss[3]深入研究了模素数p的二次同余方程和一些特殊类型的三次四次同余方程.Artin[1]对于方程y2-∫(x)mod p给出了一个猜想,Hasse[6]证明了这个猜想.Weil[12]后来证明了一个更一般的结论.本文中,我们研究一种特殊形式的线性方程,这里方程的变量属于有限域的一个子集合而非整个有限域.设p>2为一素数,S≤Fp,|S|=k,l≤k≤p.记其中xi∈S.我们.我们主要有以下结果：(1)对于一类特殊的集合S=｛0.1,…,k-1｝,我们给出了F(x1,…,xp-1)=b.b∈Fp的具体的解的个数,特别地,我们据此得到了一个Fermat小定理的具体的解释.对于一般的集合S,我们考虑了当k固定时,F(x1,…,xp-1)=b.b∈Fp的解的个数的分布.(2)我们用f(x2,…,xp-2)=b.b∈Fp的解的个数构造了一个矩阵并研究了这个矩阵的一些性质,特别是这个矩阵的特征值和方程的解的个数之间的关系.(3)应用Lev定理[7]给[7]了F(x1,….xp--1)=b,b∈Fp.f(x2,…,xp-2)=b.b∈Fp的解的个数的一个上界.本文内容安排如下：第一章简要介绍了有限域的背景知识和有限域上的方程的一些结果.第二章我们给出了关于方程F的解的结果.第三章考察了方程f的解的性质.第四章我们介绍了Lev定理及推论.

全文目录

摘要  6-7
ABSTRACT  7-9
符号对照表  9-10
第一章背景知识  10-14
  §1.1 有限域  10
  §1.2 有限域上的方程  10-12
  §1.3 有限域上的一类线性方程  12-14
第二章 F(x_1,…,x_(p-1))=b_1的解的性质  14-21
  §2.1 定义  14-15
  §2.2 F(x_1,…,x_(p-1))=b_1的解的性质  15-21
第三章 f(x_2,…,x_(p-2))=b_2的解的性质  21-29
  §3.1 定义  21-23
  §3.2 f(x_2,…,x_(p-2))=b_2的解的性质  23-29
第四章 Lev定理  29-32
参考文献  32-33
致谢  33-34
学位论文评阅及答辩情况表  34

有限域上一类线性方程的性质

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