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小波理论在微分方程数值求解中的应用

作　者: 周宏宇
导　师: 闵涛
学　校: 西安理工大学
专　业: 计算数学
关键词: 多分辨分析 Mallat算法 Daubechies小波 微分方程 伽辽金法 有限差分法
分类号: O241.8
类　型: 硕士论文
年　份: 2007年
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内容摘要


小波作为一个新兴的数学分支,应起始于S.Mallat和Y.Meyer在八十年代中后期所作的工作,即构造小波基的通用方法,多分辨分析MRA。此后小波得到了迅猛的发展,在应用方面更是掀起了一股应用小波的热潮,如信号处理、图像分析、奇性检测、边缘分析、微分方程数值求解等。本文研究了小波理论的有关知识在微分方程数值求解中的一些应用,具体研究内容包括以下几个方面:第一章简要综述小波分析的发展历程及其在微分方程数值求解方面的应用。第二章详细分析涉及本课题的小波基本理论和算法,如多分辨分析理论,Mallat算法等。第三章在对Daubechies小波作比较详细介绍的同时,引入了周期化的Daubechies小波和一些基于小波的微分方程数值求解方面的相关理论知识,为第四章中的微分方程数值求解做好铺垫。第四章首先基于小波-伽辽金法数值求解了具有周期边界条件的一维Helmholtz方程,然后将小波-伽辽金法和向后的Euler法相结合数值求解了具有周期初边界条件的一维热传导方程;最后提出小波最优有限差分法(该方法的本质是先基于小波生成一个不规则网格,然后再在不规则网格上利用有限差分法对偏微分方程进行数值求解),将它用于具有周期初边界条件的非线性Burgers方程的数值求解,并和直线法的求解结果进行对比,显示了该方法在数值求解有局部急剧变化解的非线性偏微分方程的巨大潜力。通过一些数值试验表明:基于小波的微分方程数值求解不仅可以得到高精度的数值解(通过对具有解析解的Helmholtz方程验证得到)和对规模较大的问题能够进行很好的处理(通过对具有解析解的热传导方程验证得到),而且对解具有奇异性的非线性问题也能进行很好的数值模拟(通过对非线性Burgers方程的验证得到),同时在求解效率上较之其他一些解决此类问题(非线性)的方法(如直线法)有很大提高,充分显示了基于小波算法的优越性。

全文目录


摘要  3-4
Abstract  4-8
1 绪论  8-12
  1.1 引言  8
  1.2 小波分析的产生和发展  8-9
  1.3 小波在微分方程数值求解中的应用  9-10
  1.4 基于小波的微分方程数值求解相对于传统方法的优势  10
  1.5 本文的工作  10-12
2 小波分析的基本理论  12-27
  2.1 多分辨分析的概念与性质  12-15
  2.2 正交小波级数和正交小波变换  15-19
    2.2.1 正交小波级数  15-18
    2.2.2 正交小波变换  18-19
  2.3 MALLAT 算法  19-27
    2.3.1 尺度空间的有限分解及数据表征  19-20
    2.3.2 分解算法  20-22
    2.3.3 回复算法  22-25
    2.3.4 Mallat 算法实现中的一些问题  25-27
3 DAUBECHIES 紧支集正交小波及其周期化  27-43
  3.1 DAUBECHIES 紧支集正交小波  27-33
  3.2 DAUBECHIES 紧支集正交小波的周期化  33-39
    3.2.1 周期化的Daubechies 紧支集正交小波的重要结论  34-35
    3.2.2 周期函数的展开  35-38
    3.2.3 展开后的周期函数的计算方法  38-39
  3.3 关于DAUBECHIES 尺度函数的微分矩阵  39-41
  3.4 关于DAUBECHIES 小波函数的微分矩阵  41-43
4 基于小波理论的微分方程数值求解  43-57
  4.1 HELMHOLTZ 方程  43-45
    4.1.1 基于尺度函数的展开  43-45
    4.1.2 基于小波函数的展开  45
  4.2 热传导方程  45-50
    4.2.1 基于尺度函数的展开  46
    4.2.2 基于小波函数的展开  46-47
    4.2.3 小波域中的时间步长法  47-50
  4.3 小波最优有限差分法  50-57
    4.3.1 不规则网格上的有限次求导  50-51
    4.3.2 非线性Burgers 方程  51-52
    4.3.3 基于小波生成网格  52-53
    4.3.4 算例  53-57
5 结论与展望  57-58
致谢  58-59
参考文献  59-62
附录  62

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中图分类: > 数理科学和化学 > 数学 > 计算数学 > 数值分析 > 微分方程、积分方程的数值解法
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