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Shorted算子的几何结构及其应用

作　者: 田学刚
导　师: 杜鸿科
学　校: 陕西师范大学
专　业: 基础数学
关键词: 正算子 Shorted算子下确界算子方程谱
分类号: O177.1
类　型: 硕士论文
年　份: 2007年
下　载: 20次
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内容摘要

算子理论产生于20世纪初，由于其在数学和其它学科中的广泛应用，在20世纪的前三十年得到迅速发展，近年来Shorted算子与Schur补的研究已成为算子理论研究的热点问题之一。设H表示无穷维复可分Hilbert空间，我们用B（H）⁺表示H上的所有有界线性正算子全体。设A∈B（H）⁺，S是H的一个闭子空间，则算子A关于S的shorted算子定义为∑（S，A）=max{X∈B（H）⁺∶X≤A且R（X）（?）S}，这里的最大值是在偏序集（B（H），≥）中取得的。对于正算子A与子空间S，设P（A，S）为P（A，S）={Q∈P∶R（Q）=S^⊥，AQ=Q^*A}，这里P表示所有幂等算子全体。若集合P（A，S）是非空的则我们称元素对（A，S）是匹配的。本文研究内容涉及Shorted算子的几何结构、元素对（A，S）的匹配性、正算子的下确界及算子方程的正解问题。在Shorted算子方面，对于给定的A∈B（H）⁺，S（?）H，得到了∑（S，A）的几何结构及元素对（A，S）匹配的充要条件。效应代数方面，Hilbert空间上两个效应的下确界问题是确定在何种条件下效应A和B∈ε（H）的下确界A∧B存在。本文把两个效应的下确界问题推广到两个正算子的下确界问题，对任意的A，B∈B（H）⁺，得到了下确界A∧B存在的充要条件。在算子方程方面，首先对列算子矩阵A=（?）在R（A₁^*）∩R（A₂^*）={0}的条件下，得到了其Moore-Penrose广义逆的表达形式，其次对于无限维Hilbert空间上的算子方程AX=C的正解问题进行了研究，得出了算子方程AX=C有正解的等价条件及正解的通式。本文共分四章：第一章主要介绍本文要用到的一些符号、概念及定理，例如正算子，谱，Shorted算子，匹配性，下确界等概念；同时又介绍了一些熟知的定理如值域包含定理，谱映射定理等。第二章我们主要运用算子分块矩阵的技巧来研究Shorted算子，揭示了任意一个正算子A与它的Shorted算子∑（S，A）的几何结构关系。其次，我们刻画了（A，S）的匹配性，这里A是一个自伴算子，S是H的一个闭子空间；特别地，当A是正算子时对集合P（A，S）={Q∈P∶R（Q）=S^⊥，AQ=Q^*A}从算子几何结构方面给出了详细刻画，这里的P表示Hilbert空间H上所有幂等算子全体，S^⊥表示子空间S在H中的正交补空间。第三章在无限维Hilbert空间上，利用Shorted算子来研究两个正算子A，B∈B（H）⁺的下确界问题，得到了下确界A∧B存在的充要条件。主要结论如下：（1）．设A∈B（H）⁺，P是到闭子空间S上的正交投影，则P∧A存在当且仅当σ（∑（S，A））（?）{0}∪[1，‖A‖]或σ（∑（S，A））（?）[0，1]。（2）．设A，B∈B（H）⁺则正算子A，B的下确界A∧B存在当且仅当∑（S₀，A）与∑（S₀，B）是可比较的，这里S₀=（?）∩（?）。第四章我们首先研究了列算子矩阵（?）在R（A₁^*）∩R（A₂^*）={0}的条件下的Moore-Penrose逆的表达形式；然后探讨了算子方程AX=C有自伴解和正解的条件，分别得出了算子方程AX=C有自伴解和正解的等价条件；最后给出了算子方程AX=C与XB=D有公共正解的充要条件。

全文目录

摘要  3-5
Abstract  5-8
前言  8-12
第一章预备知识  12-16
  1.1 基本概念  12-13
  1.2 预备定理  13-16
第二章 Shorted算子的几何结构及(A,S)的匹配性  16-30
  2.1 引言  16
  2.2 Shorted算子的几何结构  16-25
  2.3 正算子A与子空间S的匹配性  25-30
第三章 Hilbert空间上量子效应下确界的推广  30-40
  3.1 引言  30
  3.2 Hilbert空间上正算子的下确界  30-40
第四章算子方程与Moore-Penrose逆  40-52
  4.1 引言  40
  4.2 列算子矩阵(?)的Moore-Penrose广义逆  40-45
  4.3 算子方程AX=C的正解问题  45-52
总结  52-54
主要符号  54-56
参考文献  56-60
致谢  60-62
攻读硕士学位期间的研究成果  62

Shorted算子的几何结构及其应用

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