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一类非齐次边界条件的非线性椭圆方程

作　者: 陈自高
导　师: 黄毅生
学　校: 云南师范大学
专　业: 基础数学
关键词: 非齐次边界条件变分方法扰动方法变形山路引理 (PS)_c条件
分类号: O175.25
类　型: 硕士论文
年　份: 2004年
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内容摘要

本文考虑如下具有非齐次边界条件的非线性椭圆方程的可解性及多解的存在性，其中Ω是R^N（N≥2）中的一个有界光滑开区域，f（x）∈L²（Ω）和9（x）∈H^1／2（）为给定的函数，λ，μ为二实参数，p，g为大于1的实数，且p≠q．显然，参数λ，μ及实数p，q的变化范围对方程（P_g）特别是多解性的研究影响很大。当μ=1时，方程（P_g）化为若λ≥0，2≤q＜p＜2（N+1）／N时，Candela-Salvatore运用Bahri-Berestycki，Rabinowitz以及Struwe在研究具有Dirichlet边界条件的方程时所引入的扰动方法给出了方程（A1．1）的无穷多解的存在性结果。受文献[11]的启发，本文利用变分方法和扰动方法，对参数λ，μ∈R以及实数p，q在1到2N／（N-2）范围内研究了非线性椭圆方程（P_g）的可解性和多解的存在性。具体地说，我们得到了如下结果：定理1．1 设f∈L²（Ω），g∈H^1／2（）为给定的函数，λ≥0且μ，p，q满足条件（1）2≤g＜p＜2（N+1）／N，μ＞0或（2）1＜q≤2＜p＜2（N+1）／N，μ＞3λ（q-2）／（2-p），则方程（P_g）存在无穷多解。当μ，p，q满足条件（3）1＜p，q＜2，p≠q，μ≥0，则方程（P_g）至少存在一解。推论1．1设f，9满足定理1．1所给定的条件，μ≥0且λ，p，q满足条件（1）2≤p＜q＜2（N+1）／N，λ＞0或（2）1＜p≤2＜q＜2（N+1）／N，λ＞3μ（p-2）／（2-q），则方程（P_g）存在无穷多解。定理1．2设f，g满足定理1．1所给定的条件，λ≤0且μ，p，q满足条件（1）1＜q≤2＜p＜2（N+1）／N，μ＞0或（2）2≤q＜p＜2（N+1）／N，μ＞3λ（g－2）／（2－p），云南师范大学硕士学位论文H则方程（弓）存在无穷多解. 当月，p，q满足条件（3）l<尹<2，则方程（马）至少存在一解.定理1.3设f，g满足定理1.1l<口<ZN/（N一2），尹尹q，拼全O，所给定的条件，入七。且拜，p，q满足条件1<p<ZN/（N一2），1<叮<2，p务g，月三0，则方程（几）至少存在一解·定理L4设f，g满足定理1.1所给定的条件，入三。且拼，p，q满足条件l<夕，g<ZN/（N一2），尹笋叮，拼三O，则方程（几）至少存在一解.

全文目录

1 引言  7-8
2 预备知识  8-9
3 方程(P_g)的等价泛函  9-21
  3.1 对(1)2≤q＜p＜2(N+1)／N，λ≥0，μ＞0的情况  10-15
  3.2 对(2)1＜q≤2＜p＜2(N+1)／N，λ≥0，μ＞3λ(q-2)／(2-p)的情况  15-17
  3.3 对(3)1＜q≤2＜p＜2(N+1)／N，λ≤0，μ＞0的情况  17-19
  3.4 对(4)2≤q＜p＜2(N+1)／N，λ≤0，μ＞3λ(q-2)／(2-p)的情况  19-21
4 验证泛函J满足(PS)_c条件  21-28
  4.1 对(1)2≤q＜p＜2(N+1)／N，λ≥0，μ＞0的情况  21-24
  4.2 对(2)1＜q≤2＜p＜2(N+1)／N，λ≥0，μ＞3λ(q-2)／(2-p)的情况  24-26
  4.3 对(3)1＜q≤2＜p＜2(N+1)／N，λ≤0，μ＞0的情况  26-27
  4.4 对(4)2≤q＜p＜2(N+1)／N，λ≤0，μ＞3λ(q-2)／(2-p)的情况  27-28
5 主要定理的证明  28-34
参考文献  34-35
致谢  35

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