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Gamma函数和Psi函数的完全单调性及其应用

作　者: 赵伟珍
导　师: 陈超平
学　校: 河南理工大学
专　业: 应用数学
关键词: Gamma函数 Psi函数完全单调性对数完全单调性
分类号: O178
类　型: 硕士论文
年　份: 2007年
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内容摘要

从Euler开始系统地研究Gamma函数至今已经有二百多年的历史了.Gamma函数作为一种超越函数,具备了丰富和优美的特性,在数学的许多分支以及物理、工程等学科中都起着重要的作用.本文要研究的另一个重要特殊函数是Psi函数,即Gamma函数的对数微商.近年来,关于这两个函数,有着丰富的文献.特别地,关于Gamma函数和Psi函数的不等式更是层出不穷.而含有这两个函数的许多不等式的成立,常常来源于含有这两个函数的某些函数的对数完全单调性及完全单调性.本文共分三章:第一章主要介绍了本文中要用到的一些定义以及比较著名的或已知的一些定理.首先介绍了Gamma函数, Psi函数,完全单调函数,对数完全单调函数等概念,接着给出了一些熟知的定理公式,如平移公式,余元公式, Weierstrass乘积定理等,而后介绍了Gamma函数和Psi函数研究的历史与现状等.第二章主要研究了函数(?)和(?)的对数完全单调性.这些结果分别推广或开拓了H.Vogt, Merkle和陈超平等的一些结论.然后由Gamma函数和Psi函数的关系及完全单调函数的性质,得到了几个含有Psi函数的函数的对数完全单调性.最后推广和拓广了一些已知的结论,同时也建立了几个Gamma函数和Psi函数的不等式.第三章主要研究了函数(?)和(?)的完全单调性.由此推广了裘松良和M.Vurinen的结论,并且得到了一个与Psi函数相关的不等式的最好可能边界.最后简单介绍了完全单调函数的对数凸性和S凸性.

全文目录

摘要  4-5
ABSTRACT  5-7
第1章绪论  7-12
  1.1 预备知识  7-10
  1.2 Gamma 函数与Psi 函数研究的历史现状  10-11
  1.3 本文研究的主要内容  11-12
第2章 Gamma函数的完全单调性及其应用  12-26
  2.1 引理  12-14
  2.2 主要结论及其证明  14-20
  2.3 Gamma 函数完全单调性的一个应用  20-26
    2.3.1 一个 Gamma 比值函数的完全单调性  20-24
    2.3.2 边界最好可能问题  24-26
第3章 Psi 函数的完全单调性及其应用  26-40
  3.1 问题产生的背景及主要结论  26-29
  3.2 引理  29
  3.3 定理和推论的证明  29-35
  3.4 Psi 函数完全单调性的两个应用  35-40
    3.4.1 完全单调函数的对数凸性及S凸性  35-37
    3.4.2 边界最好可能问题  37-40
参考文献  40-44
附录  44-45
致谢  45

Gamma函数和Psi函数的完全单调性及其应用

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