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对流扩散方程并行算法的若干研究

作　者: 贾云涛
导　师: 孙方裕
学　校: 浙江大学
专　业: 计算数学
关键词: 并行算法扩散方程对流绝对稳定并行计算机数值实例非线性方程高性能推广流体运动
分类号: O241.82
类　型: 硕士论文
年　份: 2006年
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内容摘要

在刻划流体运动的某些物理现象,以及研究热的传导,粒子的扩散问题时,常常会归结为求解对流-扩散方程上去,因此研究对流-扩散方程的求解方法具有很重要的现实意义。在求解对流-扩散(一维和二维)方程的差分方法中,古典显格式受到稳定性条件的限制;古典隐格式和C-N(Crank-Nicolson)格式是无条件稳定的,但需要解大型的线性方程组,并且线性方程组中的矩阵一般不是三对角的,不适合并行计算。近年来,Evans和张宝琳等人针对扩散方程和对流-扩散方程提出了一系列的并行算法,例如AGE(Alternating Group Explicit method)方法,AGE-I(Alternating Group Explicit-Implicit method)方法,ABC-N(Alternating Block Crank-Nicolson method)方法,ABdC-N(Alternating Band Crank-Nicolson method)方法。山东大学的王文洽老师在对一维的对流扩散方程也做了一些工作,构造了求解一维对流-扩散方程的ASC-N(Alternating Segment Crank-Nicolson method)方法。本文主要是对一维的Burgers方程和二维的对流-扩散方程提出了一类并行算法。第二到第五章是本文的精髓所在。本文第二章是针对一维的Burgers方程把saul’yev型非对称差分格式和Crank-Nicolson格式来,构造了一种新的并行算法,并证明了其线性稳定性。数值算例说明此方法是可行的。本文第三章是作为第二章方法的推广,对二维的对流-扩散方程把saul’yev型非对称差分格式和Crank-Nicolson格式起来,构造了一类新的求解二维对流-扩散方程的交替分块的C-N的并行算法,该方法绝对稳定,具有良好的并行性质,适合在高性能的并行计算机上直接使用,且可推广到非线性方程上去,数值实例表明该方法有很好的精度。本文第四章是在第三章的交替分块的C-N的并行算法的基础上,利用saul’yev型非对称差分格式和Crank-Nicolson格式对二维的流-扩散方程构造了一类交替分带的C-N并行算法。该方法绝对稳定,具有良好的并行性质,适合在高性能的并行计算机上直接使用,且可推广到非线性方程上去,数值实例表明该方法有很好的精度。本文第五章对二维的流-扩散方程构造了一类交替分块的显式和隐式的并行算法,该方法绝对稳定,具有良好的并行性质,适合在高性能的并行计算机上直接使用,且可推广到非线性方程上去,数值实例表明该方法有很好的精度。

全文目录

摘要  4-5
ABSTRACT  5-6
目录  6-8
第一章序言  8-10
  §1.1 本文选题的背景和相关的研究  8-9
  §1.2 本文内容的安排  9-10
第二章 Burgers方程的一类交替分组的Crank-Nicolson方法  10-20
  §2.1 问题的提出和背景  10
  §2.2 交替分组C-N格式的构造和问题的解决  10-17
    §2.2.1 构造ASC-N格式的预备知识  10-12
    §2.2.2 ASC-N格式的构造  12-17
  §2.3 ASC-N格式的稳定性分析  17-18
    §2.3.1 引理2.3.1  17
    §2.3.2 引理2.3.2  17
    §2.3.3 定理2.3.3  17-18
  §2.4 数值例子  18-20
第三章二维的对流扩散方程的交替分块的Crank-Nicolson方法  20-37
  §3.1 问题的提出和背景  20
  §3.2 交替分块的C-N格式的构造和问题的解决  20-32
    §3.2.1 构造ABC-N格式的预备知识  20-23
    §3.2.2 ABC-N格式的构造  23-25
    §3.2.3 ABC-N格式的几何设计  25-27
    §3.2.4 ABC-N格式的矩阵形式  27-32
  §3.3 ABC-N格式的稳定性分析  32-33
    §3.3.1 引理2.3.1  32
    §3.3.2 引理2.3.2  32
    §3.3.3 定理2.3.3  32-33
  §3.4 数值算例  33-37
第四章二维的对流扩散方程的交替分带的Crank-Nicolson方法  37-49
  §4.1 问题的提出  37
  §4.2 交替分带的C-N格式的构造和问题的解决  37-45
    §4.2.1 构造ABdC-N格式的预备知识  37-38
    §4.2.2 ABdC-N格式的构造  38-40
    §4.2.3 ABdC-N格式的几何设计  40
    §4.2.4 ABdC-N格式的矩阵形式  40-45
  §4.3 ABdC-N格式的稳定性分析  45-49
    §4.3.1 ABdC-N格式的稳定性分析  45
      定理4.3.1  45
    §4.3.2 ABdC-N格式的数值算例  45-49
第五章二维的对流扩散方程的交替分块的显式和隐式方法  49-60
  §5.1 问题的提出和背景  49
  §5.2 交替分块的显式和隐式的格式的构造和问题的解决  49-56
    §5.2.1 构造ABE-Ⅰ格式的预备知识  49-50
    §5.2.2 ABE-Ⅰ格式的构造  50-52
    §5.2.3 ABE-Ⅰ格式的几何设计  52
    §5.2.4 ABE-Ⅰ格式的矩阵形式  52-56
  §5.3 ABE-Ⅰ格式的稳定性分析和数值算例  56-60
    §5.3.1 ABE-Ⅰ格式的稳定性分析  56
      定理5.3.1  56
    §5.3.2 ABE-Ⅰ格式的数值算例  56-60
参考文献  60-63
附录  63-66
攻读硕士学位期间完成的论文  66-67
致谢  67

对流扩散方程并行算法的若干研究

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