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求解抛物型方程的若干有限差分并行算法的研究

作　者: 袭杨
导　师: 刘播
学　校: 吉林大学
专　业: 计算数学
关键词: 并行算法差分方程 Saul’yev非对称格式稳定性截断误差
分类号: O241.82
类　型: 硕士论文
年　份: 2011年
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内容摘要

在自然科学的许多领域中,如热传导以及其它扩散现象、某些生物形态、化学反应等等,是用抛物型方程或方程组描述的.在一些需要快速计算的大型复杂的科学工程计算问题中,需要利用它们内部的并行性,设计出合理的并行算法,然后在并行机上用并行算法求解.通常这些方程必须通过有限差分法求解.因此,我们需要不断完善和改进已有的传统的差分方法,针对具体问题,构造出合理的具有并行性的新的差分算法.本文以简单的一维热传导方程为例,利用Saul’yev非对称格式,其中, r =ΔΔxt2,构造出分组显示GE法, GE法在r =ΔΔxt2≤1时稳定,其截断误差比单独使用非对称格式有了明显改善,误差为O (Δt +Δx).在不同的时间层交替使用GEL和GER法,得到交替分组显式AGE方法,其数学描述如下其中, k =0,2,4,L.通过研究得到AGE方法是绝对稳定的,稳定性得到了基本改善,同时其截断误差分别为交替分组显式AGE方法的截断误差为O (Δt +Δx).进而,将AGE方法推广到求解二维抛物型方程有限差分的并行计算中,该方法具有并行性且是无条件稳定的.以二维扩散抛物型方程的初边值问题为例:边界条件为初始条件为u ( x,y,0)= f(x,y)　　0< x,y<1 AGE方法定义为:其中, k =1,2,L.交替差分块方法是受到解二维问题AGE差分方法的启发而产生的一类新的解决二维问题的方法,在一定条件下这种方法能进行并行计算,并且稳定性较好.最后,针对一维抛物方程,依据分组交替的思想用Saul’yev非对称格式建立了一种新的具有并行性质的差分算法,新算法的一般描述为:其中增长矩阵矩阵G1和G 2为非负定的,利用Kellogg引理得出新算法是绝对稳定的.最后,通过数值实验对AGE算法和新算法进行了比较,当r <1, =1或> 1时,可以看出新算法都是收敛的,其误差都是可控的.这从实验的角度证明了前面对新算法稳定性的理论分析,即新算法是绝对稳定的.

全文目录

摘要  4-7
Abstract  7-13
引言  13-15
第1章有限差分法的基础知识  15-21
  1.1 差分格式  15-17
  1.2 截断误差  17-18
  1.3 收敛性和稳定性  18-19
  1.4 古典格式  19-21
第2章一维抛物型方程的有限差分并行算法  21-30
  2.1 Saul’yev 非对称格式  21-23
  2.2 分组显式GE 方法  23-27
    2.2.1 GE 方法构造  23-26
    2.2.2 GE 方法的截断误差和稳定性  26-27
  2.3 交替分组显示AGE 方法  27-30
    2.3.1 AGE 方法的构造方法  27-28
    2.3.2 AGE 方法稳定性和截断误差  28-30
第3章二维抛物型方程的有限差分并行算法  30-38
  3.1 AGE 方法的构造  30-35
  3.2 AGE 方法的稳定性  35-38
第4章对一维抛物型方程并行算法的探索  38-45
  4.1 构造新的非对称格式  38-41
  4.2 数值试验  41-44
  4.3 结论  44-45
参考文献  45-47
致谢  47

求解抛物型方程的若干有限差分并行算法的研究

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