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扩散方程高阶格式的分组迭代法

作　者: 徐倩倩
导　师: 王文洽
学　校: 山东大学
专　业: 计算数学
关键词: 扩散方程高阶格式交替分组迭代收敛性
分类号: O241.82
类　型: 硕士论文
年　份: 2011年
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内容摘要

许多物理现象都可以用扩散方程来描述,扩散方程常见于化学扩散、热传导、医学、生化以及一定的生物反应过程中.目前,扩散方程的并行求解算法随着并行计算的发展备受人们的关注.有限差分方法是现代数值方法中比较完善的求解方法,对于求解有时间依赖的扩散方程的有限差分方法,主要有两种类型：显式和隐式差分方法.显式差分方法容易在并行机上实现,但由于是条件稳定的,对时间步长的限制很苛刻.而隐式差分方法有良好的稳定性,但在每一时间层上都要去求解较大规模的方程组,不能直接用于并行计算,计算效率不高.因此,在八十年代,由Evans和Abdullah设计了交替分组显式方法,其特点是既是绝对稳定的,又能够直接进行并行计算.本文利用交替分组显式算法的思想,设计构造了扩散方程的一类高阶差分格式的并行迭代算法.其基本思想就是把高阶差分格式的差分方程在每一时间层上划分为若干子方程组来分别进行迭代求解.构造此算法的过程,我们利用了矩阵方程Au=F来实现.在第n个时间层上,对方程不断应用AGE迭代方法进行迭代,使方程的解达到满足条件的较好的离散解.这样,在每一个时间层上,方程的解都能得到预先给定的精度.文章中在给出扩散方程的高阶差分格式后,利用Fourier方法证明了差分格式的绝对稳定性,并且该差分格式的截断误差可以达到O(τ+7h4).文章还利用矩阵理论,构造了交替分组迭代格式一和格式二以及Crank-Nicolson格式,并分别对其迭代的收敛性进行了分析和证明.文章的最后给出了扩散方程具体的数值算例,通过数值算例结果,表明了该方法具有良好的实用性.

扩散方程高阶格式的分组迭代法

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