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罚函数的光滑化和可分化方法

作　者: 赫振华
导　师: 白富生
学　校: 重庆师范大学
专　业: 运筹学与控制论
关键词: 非线性约束规划问题低次精确罚函数光滑逼近可分规划可分化方法非线性高斯-赛德尔方法
分类号: O221.2
类　型: 硕士论文
年　份: 2009年
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内容摘要

带有约束的非线性规划问题广泛见于工程、军事、国防、经济等许多领域。求解它的主要方法之一是把它转化为无约束规划问题,然后利用求解无约束规划问题的最优化方法去求解。罚函数方法是将约束规划问题无约束化的重要方法之一,该方法通过求解一个或一系列罚问题而得到原约束规划问题的解。在上世纪六十年代后期,首先由Eremin和Zangwill给出了精确罚函数的概念,从那时起对精确罚函数方法的研究一直吸引着很多学者。最近几年,一些学者提出了低次精确罚函数的概念,并对其性质进行了研究,得到了很好的理论结果。但由于低次精确罚函数是不可微的,在实际计算中会带来一定的困难。本文研究内容之一是低次精确罚函数的一般形式的光滑化以及光滑后的罚函数的性质。可分优化方法可应用于多区域电力系统分析、网络设计、价格决策管理等模型中,早在上世纪六十年代就已提出,例如Dantzig-Wolfe分解和Bender分解等,后来在八、九十年代有不少相关的研究成果问世。通过可分优化方法可将一个复杂的由相互关联的子系统组成的大规模的优化问题,分解成各个子问题。本文研究内容之二是带有二次惩罚项的罚问题的可分化方法和非线性高斯-赛德尔(Gauss-seidel)分解技术在约束规划问题中的应用。本文结构安排如下:第一章,我们简要介绍了目前国内外关于罚函数和精确罚函数的研究工作和应用在约束规划问题中的可分化方法。第二章,我们回顾了低次精确罚函数的局部、全局精确罚性质。由于低次精确罚函数的不可微性,一般不能直接采取利用导数的最优化方法去求解低次罚问题。为了克服这一缺陷,我们在本章给出了低次精确罚函数的一般形式的一种光滑逼近,在这里我们引进一个带有单参数的分段函数来光滑逼近,并证明对于给定的一个充分小的,当罚参数q充分大,光滑后的低次罚问题的全局极小点是原问题的可行解时,则光滑后的低次罚问题的全局极小点是原问题的近似全局极小点。我们同时也给出了数值例子进一步说明通过解光滑化后的低次罚问题以求解原问题的方法是切实可行的。在第一、二章中,我们知道一个约束规划问题可以通过罚函数方法把它转化成一个无约束的罚问题,进而通过求解罚问题的全局极小而得到原问题的全局极小。然而,当罚问题的规模相对大时,这时我们可以利用可分化方法把它分解。第三章,我们对带有一个等式约束的可分规划问题相对应的带有二次惩罚项的罚问题给出了可分化方法,并且给出其相应的算法。同时我们也给出了非线性Gauss-seidel分解技术在约束优化问题中的应用,也给出相对应的算法。最后我们举数值例子说明提出的算法是可行的,通过与文献[40]中对增广拉格朗日函数的两种分解方法:辅助问题原理法(APP)和分块协调下降法(BCD)作比较。第四章,总结全文以及展望未来。

全文目录

中文摘要  5-7
英文摘要  7-9
第一章预备知识  9-20
  1.1 罚函数和精确罚函数  9-15
    1.1.1 问题的提出  9
    1.1.2 相关的定义  9-11
    1.1.3 罚函数方法  11-13
    1.1.4 精确罚函数方法  13-14
    1.1.5 精确罚函数的光滑化  14-15
  1.2 数学规划中的分解方法  15-20
    1.2.1 引言  15-19
    1.2.2 非线性Gauss-seidel 算法  19-20
第二章低次精确罚函数的光滑化  20-32
  2.1 引言  20
  2.2 低次精确罚函数的局部、全局罚性质  20-22
  2.3 低次精确罚函数的一般形式的光滑化  22-25
  2.4 算法  25-26
  2.5 数值例子  26-32
第三章可分化方法  32-41
  3.1 引言  32
  3.2 凸可分规划问题的罚分解  32-35
  3.3 非线性Gauss-seidel 分解方法的应用  35-36
  3.4 数值例子  36-41
第四章结论与展望  41-42
参考文献  42-47
致谢  47-48
作者攻读硕士学位期间完成的论文  48

罚函数的光滑化和可分化方法

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