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李群理论在流体力学中应用的初探

作　者: 夏浪
导　师: 谢锡麟
学　校: 复旦大学
专　业: 流体力学
关键词: 李群李对称法偏微分方程 N-S方程
分类号: O152.5
类　型: 硕士论文
年　份: 2011年
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内容摘要

在自然界千变万化的姿态中,我们常常可以观察到某种形式的对称。对称是自然界中最为普遍和重要的结构,提供了寻找自然界中各种联系线索,并且指导我们去探索客观世界的本质。李群在数学上是一种对称结构,本文主要从几何和代数两个方面初步探讨、研究了李群在流体力学中的应用。在几何方面,我们研究了流体在物理空间中运动所具有李群性质的拓扑结构；在代数方面,主要利用李群算法(李对称方法)研究流体力学方程的对称性。利用李对称方法,在一定条件下使得相应的微分方程得到约化,从而简化求解过程,并获得群不变解。第一章是预备知识,简要介绍了本文的工作基础：微分流形、切空间、拓扑群、微分方程对称性等基本概念。第二章分析了流体在流动中的对称结构,从几何方面做了初步的研究。比较成功地得到了在不考虑边界条件情况下的简洁结论。与此同时,鉴于Boltzmann方程近年来在流体力学中的广泛应用,我们也对此做了比较详细的研究分析,给出了Boltzmann方程在s3(1)上的简化。第三章首先回顾了李对称方法的计算步骤,然后利用Stokes-Helmholtz分解对N-S方程做了化简和变形,并在此基础上给出了变形方程对成群的详细计算过程以及相应的不变解。第四章在第三章的基础上我们比较和分析了几种用于李对称分析的软件并且说明了当前计算软件包中存在的问题和值得该进的地方。

全文目录

目录  3-4
摘要  4-5
Abstract  5-7
第零章引言  7-11
  0.1 研究背景  7-8
  0.2 研究现状  8-9
  0.3 本文的主要工作及其研究意义  9-11
第一章李群及李对称理论  11-16
  1.1 流形、切空间、余切空间、向量场  11-13
  1.2 李群、李代数、微分形式  13
  1.3 李变换群和齐性流形  13-14
  1.4 微分方程的对称群及群不变解  14-16
第二章流动中的对称结构  16-24
  2.1 对称结构上定理的推导  16-18
  2.2 李群在Boltzmann方程化简上的应用  18-24
第三章不可压缩N-S方程的对称和群不变解  24-38
  3.1 李对称法的基本介绍  24-27
  3.2 不可压缩N-S方程的对称  27-29
  3.3 单参数不变群及其群不变解  29-37
  3.4 结论  37-38
第四章李群方法计算软件简介  38-42
  4.1 李群分析软件概述  38
  4.2 Symmgrp2009.Max简介  38-40
  4.3 MathLie软件简介  40-41
  4.4 结论  41-42
第五章结束语  42-44
参考文献  44-52
硕士期间论文情况  52-53
附录  53-59
后记  59-60

李群理论在流体力学中应用的初探

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