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各阶元的个数对有限群结构的影响

作　者: 苑金枝
导　师: 陈贵云；曹洪平
学　校: 西南大学
专　业: 基础数学
关键词: 阶型 元长 同构 循环极大子群
分类号: O152.1
类　型: 硕士论文
年　份: 2009年
下　载: 39次
引　用: 1次
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内容摘要


设G是一个有限群,πe（G）表示群G的元素阶的集合;mi（G）=｜g∈G｜o（g）=i}｜表示G中i阶元的个数,简记为mi;p（G）=（m1,…,mk,…ms）表示G的阶型;nse（G）={mi｜i∈πe（G）}表示G的元长之集合.考虑群的数量关系对有限群结构的影响是有限群论中一个重要课题.许多群论工作者在这方面做了大量的工作.如著名的Sylow定理,Lagrange定理,Burnside定理等.1987年施武杰教授提出了单群的纯数量刻画:仅用有限群元素阶的集合和有限群的阶来刻画有限单群.J.G.Thompson教授在给施武杰教授的一封信中提出了下面一个问题:Thompson问题:设G1与G2为同阶型的有限群,若G1可解,G2是否可解?一些群论工作者从群的最高阶元的个数出发来研究有限群,侧面对Thompson问题进行了研究,得到了一些令人鼓舞的结果（参见文献[10],[11],[12],[13],[14]）,但是,至今没有人对J.G.Thompson猜想给出证明,也没有可以举出反例.可见Thompson问题的解决是相当困难的.本文首先讨论了与同阶型群相关的另一个问题,怎样的群可由其阶型唯一确定?进一步容易看出若G1与G2为同阶型的有限群,必有nse（G1）=nse（G2）.但反之不一定成立.故作者又用数量集合nse（G）对有限群G进行了初步研究.主要结论如下:定理1.1设G为有限群,H为23p阶群,p为奇素数,则G≌H的充要条件是p（G）=p（H）.定理2.1设G是具有循环极大子群的pn阶群,其中p为素数,H为群,则（1）当G≠G2,G3,G6时,H≌G的充要条件是p（H）=p（G）.（2）当G=G2,G3或G6时,若ρ（H）=ρ（G）,则H≌G2,G3或G6.定理3.1设M为群,G为2qp阶群,其中q＜p为不同的奇素数.则M≌G的充要条件是p（M）=p（G）.定理3.2 M为群,则M≌A5的充要条件是p（M）=p（A5）.定理4.3设G为群,nse（G）={1,2,3,2p},其中p为奇素数,则G≌Z6×Z2.

全文目录


摘要  4-5
ABSTRACT  5-7
引言  7-9
1 2~3p阶群的一个新刻画  9-14
2 p~n阶群的一个新刻画  14-17
3 2qp阶群及A_5的一个新刻画  17-20
4 nse(G)={1,2,3,2p}的有限群  20-22
结语  22-23
参考文献  23-25
攻读硕士学位期间发表的学术论文  25-26
感谢  26

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中图分类: > 数理科学和化学 > 数学 > 代数、数论、组合理论 > 群论 > 有限群论
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