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p-群的计数问题是关于有限p-群各种类型的子群,元素或子集的个数的结果.反过来,由p-群子群的个数条件推出群本身的性质或结构也是p-群计数问题的重要课题.本文就此两个方面展开研究.首先,作者计算出了具有循环极大子群的p-群和（pn,pm）型交换p-群的各阶子群的个数,然后在此基础上确定了各阶非平凡子群个数为p+1的有限p-群的完全分类,进而利用各阶循环子群个数对（pn,pm）型交换p-群进行了刻画.另外,作者还在给定同阶子群个数≤3的条件下,讨论了有限群的性质和结构,给出了完全分类,值得说明的是此讨论没有把讨论的范围仅限于p-群.本文的主要结论如下:定理2.1设G是有循环极大子群的p-群.（1）若G是（Ⅰ）类型群,则sk（G）=1,其中k=0,1,…,n.（2）若G是（Ⅱ）,（Ⅲ）,或（Ⅵ）类型群,则sk（G）=（?）（3）若G是（Ⅳ）,（Ⅴ）,或（Ⅶ）类型群,则sk（G）=（?）特别的,对（Ⅳ）类型群,s1（G）=1;对（Ⅴ）类型群,s1（G）=2n-1+1;对（Ⅶ）类型群,s1（G）=2n-2+1.定理2.2设G是有限p-群.若G的各阶非平凡子群的个数为p+1,则G只能为（Ⅱ）,（Ⅲ）,或（Ⅵ）类型群.注:1、具有循环极大子群的p-群共有七类,分别记为（Ⅰ）,（Ⅱ）,（Ⅲ）,（Ⅳ）,（Ⅴ）,（Ⅵ）,（Ⅶ）类型群,见文献[18].2、N（G）表示有限群G的同阶子群个数的集合.定理3.1设G是（pn,pm）型交换p-群,其中m≤n.则群G的pk阶子群的个数为:定理3.2设G为交换群,且|G|:pn+m,m≤n.若则G是（pn,pm）型交换p-群.定理4.1设G是有限群.N（G）={1}当且仅当G为循环群.定理4.2设G是有限群.若N（G）={1,2},则G不存在.定理4.3设G是有限群,且N（G）:{1,3}.（1）如果G为p-群,|G|:pn,n≥2,那么G是Q8,或者是以下两类型群:Ⅰ)(2n-1,2)型交换2-群;Ⅱ)半广义四元数群:G=＜a,b＞,n≥4,定义关系为:a2n-1=1,b2:1,b-1ab=a1+2n-2.（2）如果G为非p-群,那么Ⅰ)若G的所有Sylow子群都正规,则G是以下三个类型群:（ⅰ）Q8×＜a＞,2（?）o（a）;（ⅱ）P×＜u＞,2（?）o（u）,P为(2n-1,2)型交换2-群;（ⅲ）P×＜v＞,2（?）o（v）,P为半广义四元数群.Ⅱ)若G有非正规的Sylow子群,则G=（P（?）P1）×＜u＞,P=＜a＞,P1=＜b＞,o（a）:2n,n≥1,o（b）=3,2（?）o（u）,3（?）o（u）.推论1设G是有限p-群.若N（G）={1,p+1),则G只能为Q8,（Ⅱ）,（Ⅲ）或（Ⅵ）类型群.定理4.4设G是有限群.若N（G）={1,2,3),则G不存在.
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