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算子代数中某些映射的性质

作　者: 龚明
导　师: 朱军
学　校: 杭州电子科技大学
专　业: 基础数学
关键词: 约当同态 稳定性问题 可乘映射 约当全可乘点
分类号: O153
类　型: 硕士论文
年　份: 2011年
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内容摘要


对定义在算子代数上的线性映射或可加映射保持性质的刻画一直是上个世纪数学理论界最受欢迎的研究课题。这其中值得注意的研究成果是证明了一个可加映射或一个可乘映射在某种条件下是可以用代数同态来刻画的。在过去的几十年中许多数学家都专注于研究映射的稳定性、可导性或可乘性问题,并且取得了许多非常有趣的成果。特别是关于可导性和稳定性的研究,随着研究地不断深入,取得的成果也越来越多。侯晋川等人证明了J -子空间格代数上每一个在单位算子处可导的映射都是一个导子。朱军等人证明了每一个可逆算子是套代数中关于强算子拓扑连续的全可导点。后来也有作者证明了在某些算子处可导的线性映射不但是一个导子而且在某些条件下也是一个内导子。自从1940年S.M.Ulam提出了关于同态映射的稳定性问题后,许多学者对此进行了研究。随着解决问题地不断增多,后来又出现了被推广的Hyers-Ulam-Rassias稳定性理论。设H是一个定义在复数域上的希尔伯特空间, B（H）表示H上的所有有界的线性算子,X是B（H）上的一个子代数。对于（?）A,B∈X,且满足AB=G,当线性映射φ:X→X满足φ（AB）=φ（A）φ（B）时,则称φ在G点处是可乘的;当AB+BA=G,且线性映射φ:X→X满足φ（AB+BA）=φ（A）φ（B）+φ（B）φ（A）时,则称φ在G点处是约当可乘的。最近朱军等人证明了矩阵代数Mn上的每一个不可逆矩阵G都是一个全可乘点。本篇文章分为四章。第一章主要是介绍了一些与本篇文章相关的记号和定义,包括一些选读文献的核心内容。第二章可分为两小部分。第一小部分证明了有限区域上关于柯西函数方程和关于詹森函数方程的约当同态映射在巴拿赫空间上的稳定性问题,也即是定理2.1和定理2.2所阐述的内容:定理2.1:设d和θ都为固定的正实数, f:X→Y在式‖f（x1+x2）-f（x1）-f（x2）‖≤θ中对于所有的x1,x2∈X,当‖x1‖+‖x2‖≥d时都成立,同时映射f在如下式‖f（x1x2+x2x1）-f（x1）f)x2)-f（x2）f（x1）‖≤θ中对于所有的x1,x2∈X都满足,而且f（sx）对于每一个固定的x∈X当s∈R都连续,则存在唯一的一个同态映射H:X→Y使得式‖f（x）-H（x）‖≤4θ+‖f（0）‖对于所有的x∈X都成立。定理2.2:设d和θ为固定的正实数,若f:X→Y在‖2f〔（x1+x2）/2〕-f（x1）-f（x2）‖≤θ对X中所有满足1/2（‖x1‖+‖x2‖）≥d的x1,x2都成立,同时映射f对于所有的x1,x2∈X都满足‖f（x1x2+x2x1）-f（x1）f)x2)-f（x2）f（x1）‖≤θ,而且f（sx）对于每个固定的x∈X当s∈R时都连续,则会存在唯一的一个同态映射H:X→Y使得式‖f（x）-H（x）‖≤5θ+‖f（0）‖对于所有的x∈X都成立。第二小部分证明了关于普通的詹森方程上的约当同态映射的稳定性问题,也即是定理2.3所阐述的内容。定理2.3:假设f:X→Y是一给定的映射,r,s,t都是正数,且同时存在函数φ:X×X→[0,+∞)满足式（?）和式‖rf〔（sx+ty）/r〕-sf（x）-tf（y）‖≤φ（x,y）,同时对于所有的x,y∈X和r/（s+t）>1也都有式‖f（xy+yx）-f（x）f（y）-f（y）f（x）‖≤φ（x,y）是成立的,则存在唯一的一个约当同态映射H:X→Y,满足（?）,且使得对于所有的x∈X都有式（?）是成立的。第三章也可以分为两小部分。在第一小部分中设Α是一个子代数,G是Α上的一个固定的不可逆的算子,对（?）A,B∈,AB=G,且有φ:Α→Α满足φ（AB+BA）=φ（A）φ（B）+φ（B）φ（A）成立,则可得φ是一个可乘的映射;在第二小部分中令Α是一个子代数,G是Α上一个与EnIn-1相似的固定算子,对任意的A,B∈Α,当AB+BA=G时,有φ:Α→Α满足φ（AB+BA）=φ（A）φ（B） +φ（B）φ（A）,则可得φ是一个约当可乘的映射,这时称G是一个约当全可乘点。第四章主要是对全文进行了总结。

全文目录


摘要  5-7
ABSTRACT  7-10
第1章 绪论  10-14
  1.1 一些记号与定义  10-11
  1.2 有关算子代数上某些映射稳定性和可乘性的国内外研究现状  11-13
  1.3 本文的研究内容及意义  13-14
第2章 巴拿赫空间上约当同态映射的Hyers-Ulam 稳定性  14-21
  2.1 有限区域上的约当同态映射的Hyers-Ulam 稳定性  14-18
  2.2 关于普通的詹森方程上的约当同态的稳定性  18-21
第3章 矩阵代数上约当同态映射的可乘性  21-41
  3.1 矩阵代数上在任一不可逆算子处约当可乘的线性映射  21-30
  3.2 矩阵代数上的一些约当全可乘点  30-41
第4章 全文总结  41-42
致谢  42-43
参考文献  43-46
附录  46-47
详细摘要  47-53

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中图分类: > 数理科学和化学 > 数学 > 代数、数论、组合理论 > 抽象代数（近世代数）
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