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解析微分系统的广义有理首次积分

作　者: 王丛
导　师: 张祥
学　校: 上海交通大学
专　业: 常微分方程与动力系统
关键词: 解析微分系统广义有理首次积分三次线性多项式微分系统全局解析首次积分形式首次积分正规型共振
分类号: O175
类　型: 硕士论文
年　份: 2012年
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内容摘要

微分系统可积理论不仅在数学学科有重要的理论意义,而且在物理、天文、力学、生物和工程等多个领域中有广泛的应用.但如何判定一个微分系统是否可积却十分困难.首次积分存在性的研究分为局部和整体,本文侧重于解析微分系统局部广义有理首次积分和三次线性微分系统整体解析首次积分存在性的研究.解析微分系统局部广义有理首次积分的存在性.与本课题相关的研究最早由Poincare′得到.他证明[26]:当解析微分系统奇点的线性部分的特征值非共振时,该系统在奇点邻域没有解析和形式的首次积分. Li, Llibre和Zhang[20]、Chen, Yi和Zhang[7]以及Shi[30]都对Poincare′的结果进行了推广.但对解析微分系统在奇点邻域多个广义有理首次积分的存在性问题一直没有解决,上述文章的研究方法不足以解决该问题.本文运用正规型理论和域扩张等理论给出多个广义有理首次积分存在的必要条件.此结果推广和改进了上述所有的结论.解析微分系统全局解析首次积分的存在性.该问题的研究更加困难,相关的研究成果也很少.已知的结果仅是Llibre和Valls关于二次线性微分系统[24]和Lotka-Volterra系统[23]的全局解析首次积分的存在性的研究.本文将研究三次线性微分系统的全局解析首次积分的存在性.具有至少一个有限奇点的三次线性多项式微分系统仿射等价于形如x′= P(x,y) = bx + cy + dx~2 + exy + fy~2 + gx~3 + hx~2y + ixy~2 + jy~3,y′= Q(x,y),的系统,其中g~2 + h~2 + i~2 + j~2≠0 (否则是二次线性的),且Q(x,y)等于x或者y.此部分主要是在Q(x,y) = y时,对具有全局解析首次积分或形式首次积分的三次线性多项式微分系统给出了完整的分类.对于Q(x,y) = x的情况,问题复杂得多.已有的理论和方法无法解决该问题,有待进一步地探索.

解析微分系统的广义有理首次积分

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