学位论文 > 优秀研究生学位论文题录展示

凸几何分析中的球面调和及相关问题

作　者: 郭路军
导　师: 冷岗松
学　校: 上海大学
专　业: 基础数学
关键词: 凸体球面调和唯一性稳定性 Gauss平均宽度 p-余弦变换 p-正弦变换带形 Orlicz带形算子
分类号: O186.5
类　型: 博士论文
年　份: 2013年
下　载: 41次
引　用: 0次
阅　读: 论文下载

内容摘要

本论文的研究内容属于凸几何分析和球面调和理论,主要致力于研究凸几何分析中的球面调和及相关问题.球面积分变换是球面调和分析中的重要工具,它们在泛函分析、几何断层学、凸几何分析和统计几何等领域中有着广泛的应用(参见[46,62,80,142]).此课题主要研究球面调和在凸几何分析中的应用,更具体一点,借助球面积分变换来研究凸体的唯一性、稳定性、凸体体积估计等问题.这些问题在国际上已经引起了广泛的研究兴趣,并已经有一些重要的研究成果得到发表.本论文第二章的主要研究内容是质心体与星体的唯一性.质心体的概念最早可追溯到Dupin的工作[139,第7.4节),Petty [124]首先详细给出了质心体的概念并对其进行了研究,随后Lutwak [95]将质心体的概念推广为p-质心体.在本章中,我们证明了原点中心对称的星体可由其p-质心体唯一决定.同时,利用球面调和分析的方法,证明了非对称的星体的一个唯一性结论.作为定理的应用,我们证明了p-质心体类Γp(K>中体积最大的凸体是唯一的.2007年,Fleury, Guedon和Paouris在几何距离下证明了凸体的关于p-质心体的一个稳定性版本[41].在第三章,不同于Fleury, Guedon and Paouris的结论,我们证明了一个在Hausdorff距离下凸体的关于p-质心体的一个稳定性结论,并由此结论推出了原点中心对称星体的唯一性结果.p-正弦变换是一个非常有用的球面积分变换,在第四章我们将利用它研究迷向测度.当p≥1时,我们证明了迷向测度的p-正弦变换的严格等周不等式及其逆不等式.作为其应用,在本章最后证明了处于迷向位置的凸体的体积不等式.在论文第五章,我们证明了对称Wulff形的高斯宽度不等式,并得到了其对偶不等式.这些不等式是Barthe [9]关于迷向测度的平均不等式及相应对偶结论的一个推广在最后一章,我们对Orlicz带形算子Zφ:(Kn)2→Kn进行了介绍和研究,通常意义下的带形算子是它的一种特殊情况.在本章中证明了Orlicz带形算子是映射(Kn)2到K0n内的,同时获得了Orlicz带形算子的一个仿射不等式.

全文目录

摘要  6-8
Abstract  8-12
第一章绪论  12-29
  §1.1 研究的背景  12-20
  §1.2 研究的问题与成果  20-28
  §1.3 论文结构安排  28-29
第二章星体的唯一性  29-40
  §2.1 引言  29-32
  §2.2 记号与预备知识  32-35
  §2.3 主要结果及其证明  35-40
第三章凸体的稳定性  40-57
  §3.1 引言  40-43
  §3.2 记号与预备知识  43-46
  §3.3 引理及其证明  46-50
  §3.4 稳定性的证明  50-57
第四章迷向测度p-正弦变换的体积不等式  57-71
  §4.1 引言  57-61
  §4.2 定义与预备知识  61-63
  §4.3 迷向测度p-正弦变换的体积不等式  63-67
  §4.4 p-正弦变换与体积估计  67-71
第五章对称Wulff形的高斯宽度  71-81
  §5.1 引言  71-73
  §5.2 引理  73-74
  §5.3 主要定理的证明  74-81
第六章 Orlicz带形算子  81-98
  §6.1 引言  81-83
  §6.2 符号与准备工作  83-84
  §6.3 Orlicz带形算子的性质  84-88
  §6.4 主要定理的证明  88-98
参考文献  98-111
攻读博士学位期间完成及发表的论文  111
攻读博士学位期间主持和参与的项目  111-112
致谢  112

凸几何分析中的球面调和及相关问题

内容摘要

全文目录

相似论文