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黎曼流形上的一些曲率问题

作　者: 李奇睿
导　师: 盛为民
学　校: 浙江大学
专　业: 基础数学
关键词: Weingarten曲率 modified Schouten张量完备度量预定曲率 K-α-流渐进行为
分类号: O186.12
类　型: 博士论文
年　份: 2014年
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内容摘要

完全非线性椭圆和抛物方程及其在微分几何中的应用已被广泛研究。本文中我们考虑其在曲率问题中的应用。我们主要研究三个问题,即超曲面的预定曲率问题,完备共形度量的预定曲率问题,带指数的高斯曲率流。假设N是一个n+1维黎曼流形,M是其n维子流形.在流形N上给定一个光滑函数ψ,我们考虑满足如下条件的嵌入φ：M→Nf(κ)=Ψ,这里κ=(κ1,…,κn)是超曲面φ(M)在诱导度量下对应的主曲率,f是一个对称函数。超曲面的预定曲率问题引起了数学工作者的广泛兴趣。大量的文献考虑N=Rn+1的情况。本文中我们考虑N为黎曼流形的情况。假设N容许一个法高斯坐标系,在一些适当的假设下,我们可以对一大类曲率函数证明满足预定曲率的闭超曲面的存在性。我们的几何模型包含了一大类黎曼流形,包括空间形式和一大类乘积流形。假设M是一个n维紧致带边黎曼流形,记其边界为(?)M。我们用记号g,Ricg和Rg表示其度量,里奇曲率和数量曲率。Gurskyv和Viaclovsky引入了modified Schouten张量,记作Aτ。当把黎曼曲率张量分解为共形不变和共形变化两个部分时,可以看到这个张量会自然的产生于分解过程中。本文考虑如下问题：在共形度量类[g]中,我们寻找一个完备度量g使其满足f(κ)=Ω V χ∈M=M\(?)aM,这里ψ是M上事先给定的函数,κ=(κ1,…,κn)是Aτ/g的特征值。这个问题等价于求解一个满足无穷大边值条件的完全非线性椭圆方程。假设τ＞n-1,我们证明这个问题对一大类曲率函数f是可解的。特别地,我们也证明每一个光滑紧致带边的黎曼流形上都可以存在一个完备度量g,其里奇曲率和数量曲率满足det(Ric-R9)=常数>0。在过去几十年里,许多几何学家利用抛物方程去研究流形的几何拓扑结构。比如,Hamilton引入了Ricci流并利用它研究Thurston的几何化猜想。这个猜想的证明最终被Perelman完成。这是曲率流方向的卓越成就。另一方面,Firey引入了高斯曲率流,用以刻画翻滚的石头如何形变。Andrews证明了Firey的猜想,即按高斯曲率收缩的凸曲面会以球面的方式收缩到一个点。作为一个自然的推广,我们考虑3维欧式空间R3中的2维曲面的带指数的高斯曲率流。当1/2<α≤1时,我们证明以K-α为速度扩张的严格凸曲面在有限时间内以球面方式收敛到无穷远。对于α∈(0,1/2],类似的结果已由Urbas和Huisken得到,而当α=1时该结果由Schniirer得到。我们的结果补充了之前得到的结果。

全文目录

致谢  6-7
摘要  7-9
Abstract  9-13
第一章绪论  13-27
  1.1 引言  13-18
    1.1.1 超曲面的预定曲率问题  13-15
    1.1.2 共形几何中的预定曲率问题  15-17
    1.1.3 几何曲率流  17-18
  1.2 主要的结果  18-27
    1.2.1 黎曼流形中的Weingarten超曲面  18-22
    1.2.2 Modified Schouten张量及相关Dirichlet问题  22-25
    1.2.3 带指数的逆高斯曲率流  25-27
第二章黎曼流形中满足预定Weingarten曲率的超曲面  27-51
  2.1 准备工作  27-30
  2.2 C~0估计  30-32
  2.3 梯度估计  32-40
  2.4 曲率估计  40-49
  2.5 定理1.2.1的证明  49-51
第三章完备共形度量的预定曲率问题及其相关的Dirichlet边值问题  51-73
  3.1 椭圆性  51-52
  3.2 C~0估计  52
  3.3 C~1估计  52-60
  3.4 C~2估计  60-67
  3.5 定理1.2.5的证明  67-68
  3.6 定理1.2.8的证明  68-73
第四章曲面在带指数的逆高斯曲率流下的扩张  73-87
  4.1 准备工作  73-74
  4.2 单调量  74-76
  4.3 球面收敛结果  76-81
  4.4 收敛的光滑性  81-83
  4.5 当0  83-87
参考文献  87-95
简历  95-97
发表和录用的文章目录  97

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