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带边流形上的k-Yamabe问题

作　者: 贺妍
导　师: 刘克峰
学　校: 浙江大学
专　业: 微分几何
关键词: 共形几何 k-曲率预定曲率 k-相容 k-Yamabe常数
分类号: O186.12
类　型: 博士论文
年　份: 2011年
下　载: 24次
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内容摘要

k-Yamabe问题是微分几何中的一个很有趣的问题.它是要找一个共形的度量g,使得它的Schouten张量的k-曲率是常数.其中к-曲率是指二阶对称张量特征值的k次对称多项式.特别的,当к=1时k-Yamabe问题就还原成了经典的Yamabe问题.我们有时也希望共形后Schouten张量的k-曲率能等于预定的函数f.这种问题称为预定曲率问题.对于闭流形而言,在(M,g)是к-相容(k-admissible)的前提下,[Au], [S1], [Tr1], [Tr3] (k=1)以及[V1], [CGY2], [GeW], [GW2], [BV], [LL1], [GV2], [STW], [TW1], [TW2] (k> 2)已经给出了k-Yamabe以及预定曲率问题的一系列的存在性结果.而对于具有全脐边界的流形,我们已经知道：若(M,g)局部共形平坦并且是к-相容的,那么k-Yamabe问题是可解的([Cn2]).随后,[JLL]在к>n/2以及流形不共形于半球面的情况下弱化了局部共形平坦的条件.只要流形在边界附近是局部共形平坦的,便可以得到更为一般的预定曲率问题都有解.在这些工作的基础上,我们研究了具有全测地边界的流形的k-Yamabe问题,对于该问题解的存在性,我们去掉了上述论文中要求的边界附近局部共形平坦的这个条件.除了k-相容的情况外,当k-Yamabe常数(ук[g])为正时也有一系列存在性结果.比如,文献[CGY1], [GV1], [GLW]和[s]就对闭流形上的这类问题进行了讨论.对于带边流形而言,[Cn3]给出了：如果(M,g)局部共形平坦、边界全脐、第i个Yamabe常数yi[g] (1≤i≤k)是正的,那么k-Yamabe问题是有解的.而在我们的文章中,将条件yi[g]>0 (1≤i≤k)y弱化为y1[g],yk [g]>0.我们进一步将上述结果应用到了Ricci张量的k-曲率的共形问题上,也得到类似的解的存在性和解集的紧性结果.

全文目录

致谢  5-6
摘要  6-7
Abstract  7-10
第一章绪论  10-22
  1.1 引言  10-11
  1.2 k-曲率的存在性定理  11-14
    1.2.1 落在k-正锥中  12-13
    1.2.2 k-Yamabe常数为正  13-14
  1.3 方程及其估计  14-16
  1.4 主要结果和本文内容安排  16-22
第二章 C~1,C~2估计  22-44
  2.1 基本性质和准备  22-25
  2.2 正锥中的估计  25-35
    2.2.1 定理1.4.2的证明  25-31
    2.2.2 定理1.4.1的证明  31-35
  2.3 负锥中的估计  35-44
    2.3.1 定理1.4.4的证明  35-39
    2.3.2 定理1.4.3的证明  39-44
第三章存在性定理的证明  44-72
  3.1 k-相容的情形  44-68
    3.1.1 当k>n/2时的证明  45-66
    3.1.2 当k=n/2时的证明  66-68
  3.2 k-Yamabe常数为正  68-72
第四章 Ricci张量的共形  72-82
  4.1 k-Yamabe常数为正  73-74
  4.2 正锥中的解  74-82
    4.2.1 形变和C~1,C~2估计  74-76
    4.2.2 blow-up分析  76-81
    4.2.3 完成证明  81-82
参考文献  82-92
简历  92-94
发表和录用的文章目录  94

带边流形上的k-Yamabe问题

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