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一类SIR模型的稳定性与HOPF分支的分析

作　者: 杨洪
导　师: 魏俊杰
学　校: 哈尔滨工业大学
专　业: 计算数学
关键词: 传染病模型非线性接触率稳定性超越方程 Hopf分支
分类号: O175
类　型: 硕士论文
年　份: 2012年
下　载: 30次
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内容摘要

最早的传染病模型是由Kermack-McKendrick提出的，其目的是通过对模型的动力学性质分析，从而使人们认识传染病的传播机制及传播规律。并且，模型能预测传染病的发展趋势，寻求对传染病防控的最佳方案。因此，它对传染病的研究起着十分重要的作用，受到越来越多学者的关注。本文所研究的SIR传染病模型是以Huang和Takeuchi给出的传染病模型为基础，考虑了易感染者的增长方式是Logistic型。但与以往所不同的是，环境的容纳量不仅与易感染者有关，而且还与已染病者有关，使得和以往的传染病模型相比，更具有实际意义，但分析的难度也随之增加。在本文中，主要是分析这类SIR传染病模型的稳定性和Hopf分支。我们首先研究解的正性和最终有界性。在此基础上，当基本再生数满足一定条件时，利用比较原理和Lyapunov-LaSalle不变性定理，证明了半平凡平衡点的全局吸引性。并且，借助于Hale和Waltman的无限维系统一致持久性理论，证明了该系统的持久性。其次，我们分析了该模型所对应的二阶超越特征方程根的分布，进而得到了平凡平衡点的不稳定性。特别地，应用Beretta和Kuang的方法，我们给出了在正平衡点处该模型Hopf分支的存在性条件。然后，基于Hassard的中心流形定理和规范型方法，推导出几个确定Hopf分支性质的计算公式。最后，选取适当的参数，进行数值模拟来说明理论分析结果的正确性。

全文目录

摘要  4-5
Abstract  5-6
目录  6-7
第1章绪论  7-12
  1.1 课题背景及研究的目的和意义  7
  1.2 课题在国内外研究的进展与现状  7-10
  1.3 本文的主要研究内容  10-12
第2章预备知识  12-17
  2.1 指数多项式方程根的分布  12
  2.2 系数依赖时滞的指数多项式方程根的分布  12-15
  2.3 系统的持久性的基本理论  15-17
第3章边界平衡点稳定性分析  17-27
  3.1 模型介绍  17-18
  3.2 解的正性与有界性  18-19
  3.3 平衡点稳定性及持久性  19-25
  3.4 本章小结  25-27
第4章分支分析  27-37
  4.1 HOPF分支的存在性  27-31
  4.2 HOPF分支方向及稳定性  31-36
  4.3 本章小结  36-37
第5章数值模拟  37-47
  5.1 模拟结果  37-46
  5.2 本章小结  46-47
结论  47-48
参考文献  48-53
致谢  53

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