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几类分数阶微分方程的数值方法研究

作　者: 肖静宇
导　师: 赵景军
学　校: 哈尔滨工业大学
专　业: 基础数学
关键词: 分数阶微分方程有限差分方法有限元方法配置法收敛性稳定性
分类号: O241.82
类　型: 博士论文
年　份: 2013年
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内容摘要

本文的主题是研究分数阶微分方程的数值方法及其稳定性和收敛性。基于不同的数值方法，论文的主体分为三部分：求解分数阶微分方程的有限差分方法，有限元方法和多项式配置方法。论文的绪论介绍了课题的背景及研究意义，给出了分数阶导数的基本定义，回顾了分数阶微分方程数值方法的历史及研究现状，概括了论文的主要内容。论文的第二章研究了一种分数阶偏微分方程的有限差分方法，该方法首先由Diethelm在1997年提出，并成功用于求解简单的单变量左侧分数阶导数问题。在本文中，将该方法推广到右侧分数阶导数问题，并进一步推广到求解分数阶偏微分方程的初边值问题上，给出了具体的离散格式。进而利用代数矩阵方法对此离散格式进行了稳定性分析，给出了关于网比的稳定性条件以及收敛阶估计。最后，数值试验验证了方法的稳定性条件及收敛阶。论文主体的第二部分研究了求解不同分数阶偏微分方程的有限元方法，由三，四，五章组成。在第三章中研究了一类时间空间Riesz分数阶对流-弥散方程的有限元方法。时间空间Riesz分数阶对流-弥散方程的特点是具有时间方向的左侧Caputo型分数阶导数和空间方向的Riesz分数阶导数，本章研究了此类方程的初边值问题的数值方法。首先基于实数阶Sobolev空间的定义给出了方程的变分形式，利用Lax-Milgram定理证明了弱解的存在唯一性。然后，时间方向上采用有限差分法进行离散，空间方向上采用有限元方法进行离散，讨论了方法的收敛阶，随后证明了全离散格式的无条件稳定性。最后用数值算例验证了方法的理论结果。第四章研究了一类时间复合型分数阶偏微分方程的有限元方法，所研究的方程模型特点是在时间方向上具有复合型的左侧Caputo型分数阶导数。针对该类方程类似上一章的方法，给出了此类方程的弱形式，并证明了弱解的存在唯一性。进而应用Diethelm的分数阶离散化方法，给出了时间方向上的复合型分数阶导数的有限差分离散格式并证明了方法的收敛阶。在空间方向上应用有限元方法进行离散，并得到收敛阶。进而结合时间方向和空间方向的离散化格式，给出了方法无条件稳定的证明。最后用数值算例验证了方法的收敛性，并和几种已有的分数阶数值方法进行了比较，验证了方法的有效性。第五章研究了一类时间空间复合型Riesz分数阶对流-扩散方程的有限元方法。此类方程的模型具有时间方向上的左侧Caputo分数阶复合型微分算子以及空间方向上的Riemann-Liouville型Riesz分数阶微分算子。理论方面，首先给出了此类方程的弱形式，并证明了弱解的存在唯一性。数值方法方面，分别就时间和空间方向进行了离散化，其中时间方向利用差分法进行离散给出了收敛阶，空间方向用有限元方法进行离散给出了方法的收敛阶，随后证明了全离散格式的无条件稳定性，最后给出了具体的数值算例验证了方法的有效性。本文主体的第三部分，第六章讨论了具有弱奇核的分数阶积分微分方程的配置方法。首先，证明了具有弱奇核的分数阶积分微分方程等价于一类具有弱奇性的线性Volterra积分方程。其次，利用分片多项式配置方法求解该Volterra积分方程。然后证明了当精确解充分光滑时，用一致网格构造的配置方法能够达到最优的收敛阶；当真解不够光滑时，可以通过变换的方法使得对变换后的方程应用配置法也能得到最优的收敛阶。最后在数值实验中，考虑了梯形配置方法，Simpson配置方法，Newton3/8配置方法以及Cotes配置方法的收敛性。

全文目录

摘要  4-6
Abstract  6-12
第1章绪论  12-23
  1.1 课题背景及研究意义  12-14
  1.2 分数阶微分算子定义及性质  14-18
    1.2.1 Grünward-Letnikov 型分数阶微分算子  16
    1.2.2 Riemann-Liouville型分数阶微分算子  16-17
    1.2.3 Caputo型分数阶微分算子  17-18
  1.3 分数阶微分方程数值方法研究现状  18-20
  1.4 本文的主要研究内容  20-23
第2章时间空间分数阶偏微分方程的有限差分法  23-40
  2.1 时间空间分数阶偏微分方程  23-25
  2.2 左右分数阶导数离散格式  25-30
  2.3 方法的稳定性和收敛性  30-32
  2.4 数值算例  32-39
  2.5 本章小结  39-40
第3章时间空间Riesz分数阶对流-弥散方程的有限元法  40-62
  3.1 TS-RFADEs解的存在唯一性  40-46
  3.2 TS-RFADEs时间离散化  46-49
  3.3 TS-RFADEs空间离散化  49-53
  3.4 TS-RFADEs全离散格式稳定性  53-54
  3.5 数值算例  54-61
    3.5.1 算法描述  54-56
    3.5.2 数值实验  56-61
  3.6 本章小结  61-62
第4章时间复合型分数阶偏微分方程的有限元法  62-75
  4.1 MT-FPDEs解的存在唯一性  62-64
  4.2 MT-FPDEs时间离散化  64-67
  4.3 MT-FPDEs空间离散化  67-68
  4.4 MT-FPDEs全离散格式稳定性  68-69
  4.5 数值算例  69-74
  4.6 本章小结  74-75
第5章时间空间复合型Riesz分数阶对流-扩散方程的有限元法  75-94
  5.1 MT-TS-RFADEs解的存在唯一性  75-79
  5.2 MT-TS-RFADEs时间离散化  79-83
  5.3 MT-TS-RFADEs空间离散化  83-87
  5.4 MT-TS-RFADEs全离散格式稳定性  87-88
  5.5 数值算例  88-93
  5.6 本章小结  93-94
第6章具有弱奇核的分数阶积分微分方程配置方法  94-112
  6.1 具有弱奇核的分数阶积分微分问题  94-98
  6.2 分片多项式配置法  98-99
  6.3 配置法收敛性  99-103
  6.4 几种典型的配置方法  103-106
  6.5 数值算例  106-111
  6.6 本章小结  111-112
结论  112-115
参考文献  115-125
攻读博士学位期间发表的论文及其他成果  125-127
致谢  127-128
个人简历  128

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