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Procrustes问题的迭代解法和两个矩阵扰动问题

作　者: 王明辉
导　师: 魏木生
学　校: 华东师范大学
专　业: 计算数学
关键词: 最小二乘解迭代算法子矩阵约束四元数最小二乘问题 LSQR 最大解最小解等式约束不定最小二乘问题广义Schur补混合逆序律
分类号: O241.6
类　型: 博士论文
年　份: 2008年
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内容摘要

本文主要研究了以下几个问题：1．矩阵方程AXB+CX^TD=E最小二乘解的迭代解法提出了两个求解矩阵方程AXB+CX^TD=E的迭代算法，第一个算法针对方程相容的情况，此时，对任意（特殊）的初始值X₁，在没有舍入误差的前提下，我们的算法可以在有限步之内得到方程的（极小Frobenius范数）解．第二个算法是针对方程不相容的情况，此时，对于零初值，我们的算法可以计算方程极小范数最小二乘解．2．基方法和矩阵方程的约束最小二乘解我们将一些转化约束问题为非约束问题的技巧统称为基方法，提出了两种具体的技巧并分别用到两个问题上．第一个是子矩阵约束下AXB=E的最小二乘对称解问题，第二个是AXB=E的中心对称最小二乘解问题．我们给出了一个从独立元素空间到约束解集的线性映射，研究了该映射的性质，并利用这些性质提出一个迭代方法，该方法基于解决无约束最小二乘问题的LSQR算法，可以计算极小范数解或准极小范数解．3．四元数矩阵方程的最小二乘问题当矩阵E不准确时，四元数最小二乘（QLS）问题是解决线性四元数矩阵方程AXB=E的一种方法．通过详细分析四元数矩阵的实表示的性质，我们研究了四元数矩阵的一些性质和一般四元数矩阵方程的解等．而且我们引入了一种四元数矩阵范数的概念，该概念是文[68，67]中相关概念的推广，并引伸出一个求解四元数最小二乘问题极小范数解的迭代方法．4．非线性方程X^s+A^*X^-qA=I的一些结果我们分析了正定解的性质，详细推导了有解的充分条件和必要条件．进一步，我们重点研究了一些特殊解（最大解，最小解，准最小解）的存在性，给出了这些解存在的充分条件和计算方法．5．等式约束不定最小二乘问题的代数性质和扰动结果建立了等式约束不定最小二乘问题（ILSE）的几种无约束的等价系统，导出了ILSE问题的扰动结果，并用数值试验进行了说明．6．半正定矩阵广义Schur补的扰动分析令P=（?）≥0,S=C-B^HA⁺B是A≥0的广义Schur补．我们提出了S的一些扰动界，推广了Stewart[G．W．Stewart．On the perturbation of Schurcomplement in positive semidefinite matrix，Technical Report，TR-95-38，University ofMaryland，1995]的相关结论，丰富了Schur补的扰动理论．而且，我们也研究了一种降秩最佳逼近的误差估计问题．7．（AB）^（13）的混合逆序律田永革教授提出了（AB）⁺的一些混合逆序律问题并作了深入研究．我们借助矩阵A和B的PSVD研究了（AB）^（13）的混合逆序律，得到了一些好的结果．

全文目录

摘要  6-8
Abstract  8-10
目录  10-12
主要符号对照表  12-13
第一章前言  13-19
  1.1 研究背景  13-15
  1.2 研究现状  15-17
  1.3 本文的主要工作  17-19
第二章矩阵方程AXB+CX~TD=E  19-36
  2.1 方程(2.1)的迭代方法  20-24
  2.2 最小二乘问题(2.2)的CG方法  24-26
  2.3 最小二乘问题(2.2)的LSQR方法  26-32
    2.3.1 LSQR方法简介及推广  26-31
    2.3.2 最小二乘问题(2.2)的矩阵形式LSQR方法  31-32
  2.4 数值例子  32-36
第三章基方法与矩阵方程的约束解  36-69
  3.1 子矩阵约束下AXB=E的极小范数最小二乘对称解Ⅰ  38-47
    3.1.1 主要结果  40-44
    3.1.2 最佳逼近问题  44-46
    3.1.3 数值例子  46-47
  3.2 AXB:E的中心对称最小二乘解  47-60
    3.2.1 中心对称矩阵的性质  48-52
    3.2.2 矩阵形式的LSQR算法  52-57
    3.2.3 数值例子  57-60
  3.3 子矩阵约束下AXB=E的最小二乘对称解Ⅱ  60-64
  3.4 关于极小范数解和最佳逼近问题的讨论  64-69
第四章四元数矩阵方程  69-85
  4.1 四元数矩阵的实表示  69-73
  4.2 线性四元数矩阵方程的一般解  73-75
  4.3 自共轭四元数矩阵  75-77
  4.4 四元数矩阵方程的(半)正定解  77-78
  4.5 四元数矩阵方程的最小二乘解  78-82
  4.6 数值例子  82-85
第五章关于非线性方程X~s+A~HX~(-q)A=I的一些结论  85-102
  5.1 正定解存在的条件及性质  86-92
  5.2 关于最大解和最小解  92-102
第六章约束不定最小二乘问题的代数性质和扰动分析  102-114
  6.1 ILSE问题的代数性质  104-109
  6.2 ILSE问题的扰动结果  109-112
  6.3 数值试验  112-114
第七章半正定矩阵广义Schur补的扰动分析  114-124
  7.1 准备工作  115
  7.2 广义Schur补的扰动理论  115-119
  7.3 降秩最佳逼近的误差估计  119-124
第八章 {1,3}逆的混合逆序律  124-141
  8.1 关于{(AB)~((13))}≡{A~((13))AB)~((13))A~((13))}  126-137
  8.2 关于{(AB)~((13))}≡{B~((13))(ABB~((13)))~((13))}  137-140
  8.3 结论  140-141
参考文献  141-149
发表论文目录  149-150
致谢  150

Procrustes问题的迭代解法和两个矩阵扰动问题

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