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（？）_2型和（？）_2型仿射Weyl群的Kazhdan-Lusztig多项式的首项系数

作　者: 王利萍
导　师: 席南华
学　校: 中国科学院研究生院（数学与系统科学研究院）
专　业: 基础数学
关键词: Kazhdan-Lusztig基 Kazhdan-Lusztig多项式左(或右双边)胞腔 a-函数仿射Weyl群 Hecke代数首项系数
分类号: O152
类　型: 博士论文
年　份: 2008年
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内容摘要

给定一个Coxeter系（W，S），其中S是W中单反射组成的集合。我们考虑W上的Bruhat序。对于其中任意两个有序关系的群元素y≤w，我们有一个Kazhdan-Lusztig多项式P_y，w，它是一个关于变量q的整系数多项式。由文献[KL1]我们知道当y<w时，多项式P_y，w的次数小于等于1/2（l（w）-l（y）-1）；而P_w，w=1．其中l：W→N为W的长度函数。多项式P_y，w中的第1/2（l（w）-l（y）-1）次项的系数μ（y，w）称为P_y，w的首项系数。这些首项系数对于理解全部Kazhdan-Lusztig多项式起着非常关键的作用。同时，这些首项系数在表示理论和李理论中也有着很重要的地位，它们和某些上同调群及某些困难的特征标公式有着密切的联系。然而，一般情况下这些首项系数的计算是相当的困难复杂。本文对（?）型和（?）型仿射Weyl群的Kazhdan-Lusztig多项式的首项系数进行了研究，计算出了其中大部分多项式的首项系数。Lusztig引入了非常重要的a-函数的概念（见2．2节）。对于任意的元素对y≤w，当a（y）≤a（w）时，我们清楚地计算出了这两种仿射Weyl群的首项系数μ（y，w）．而且，对于B₂型仿射Weyl群，我们还对那些满足a（y）=2且a（w）=1的y≤w清楚地计算出了μ（y，w）；当a（y）=4且a（w）=1或者2时，情况较为复杂，我们给出了一些相关的结果。利用一部分这些首项系数，我们可以证明Lusztig于1987年提出的一个关于特异对合的猜想对B₂型仿射Weyl群是成立的。另外，我们还否定了[L3]中的一个猜想（详见注解5．2．5（2））．在本文的最后一节，我们还给出了一些非常有趣的公式。从这些公式可以看到Kazhdan-Lusztig多项式的首项系数和代数群的表示以及基环的结构有着密切的关系。为了研究仿射Weyl群的W-图的非局部有限性，Lusztig在他1996年的一篇论文中引入了和Kazhdan-Lusztig多项式的首项系数μ（y，w）有关的一些半线性方程（见[L3]）。本文中的计算将主要依赖于这些半线性方程以及第2．4节中介绍的Springer公式。

全文目录

摘要  5-7
Abstract  7-11
第一章引言  11-19
  §1.1 历史背景及其进展  11-14
  §1.2 本文的主要结论及其安排  14-16
  §1.3 本文的一些记号  16-19
第二章 Kazhdan-Lusztig理论中的一些重要概念  19-31
  §2.1 Kazhdan-Lusztig多项式  19-22
  §2.2 胞腔和a-函数  22-24
  §2.3 仿射Weyl群及Hecke代数  24-25
  §2.4 Springer公式  25-27
  §2.5 Lusztig关于特异对合的猜想  27-28
  §2.6 W-图  28-31
第三章对称群S_n及(?)型仿射Weyl群的首项系数  31-37
  §3.1 星运算和S_n的胞腔  31-33
  §3.2 最低双边胞腔  33-34
  §3.3 S_n和(?)型仿射Weyl群的首项系数  34-37
第四章 (?)型仿射Weyl群的首项系数  37-45
  §4.1 (?)型仿射Weyl群的胞腔  37-38
  §4.2 次最高双边胞腔  38-40
  §4.3 (?)型仿射Weyl群的首项系数  40-45
第五章 (?)型仿射Weyl群的首项系数  45-89
  §5.1 (?)型仿射Weyl群的胞腔  45-46
  §5.2 和μ(y,w)有关的半线性方程  46-64
  §5.3 计算满足(a(y),a(w))=(2,2)的μ(y,w)  64-70
  §5.4 计算满足(a(y),a(w))=(4,4)的μ(y,w)  70-73
  §5.5 定理2.5.3的证明  73-74
  §5.6 计算满足a(y)  74-77
  §5.7 计算满足(a(y),a(w))=(2,1)的μ(y,w)  77-79
  §5.8 计算满足(a(y),a(w))=(4,1)或者=(4,2)的μ(y,w)  79-80
  §5.9 乘积C_(02)S_x的计算  80-89
参考文献  89-93
作者在攻读博士学位期间的学术交流活动  93-95
作者在攻读博士学位期间的工作  95-97
作者简介  97-99
致谢  99-100

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