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关于仿射超曲面的若干问题研究

作　者: 王宝富
导　师: 李安民
学　校: 四川大学
专　业: 基础数学
关键词: 仿射超曲面完备性 Monge-Ampère型方程曲率
分类号: O186.1
类　型: 博士论文
年　份: 2007年
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内容摘要

在仿射几何中，一旦仿射球的分类完成，下一步一个有趣的问题就是研究具常仿射平均曲率的完备超曲面。近来，这方面的研究已经取得一系列的进展（[LSZ-1]，[LSZ-2]，[LJ-1]，[LJ-2]，[LSC]，[TW-1]，[TW-2]）。尽管人们可以构造很多局部的常仿射平均曲率的超曲面，但是关于具常仿射平均曲率的完备超曲面的分类问题及相关结果还知之甚少。例如，人们甚至不知道是否有非完备仿射球的例子。在论文的第一章，通过解一类完全非线性具有退化边值的四阶偏微分方程，我们构造了一类具常仿射平均曲率的超曲面；并且，我们发展了一套梯度估计的办法，从而证明了这类曲面的欧氏完备性。结果可归纳为：对给定一个光滑有界凸区域Ω（?）Rⁿ以及函数φ∈C^∞（（?）），存在一个欧氏完备的具负常仿射平均曲率的超曲面。并且，当n=2时这些曲面是仿射完备的。在第二章，我们研究了下面这个四阶方程：sum from i,j=1 to n(U^ijw_ij)=-L, w=[detD²f]^a, （0.1）其中a是一非0常数，f是有界光滑凸区域Ω（?）Rⁿ上的光滑凸函数，L∈C^∞（（?）），U^ij是f_ij在Hessian阵D²f中的伴随余子式。我们知道·当a=-（n+1）/（n+2）时，（0.1）是关于预定仿射平均曲率L的方程；·当a=-1时，（0.1）是著名的Abreu方程，它与K（?）hler几何中的复环上的具常数量曲率的度量密切相关。自然地，我们可以问：当a取其他值的时候，方程的几何意义是什么?我们发现（0.1）是相对仿射几何中预定相对仿射平均曲率的超曲面的方程。用第一章的办法，我们能够对-1＜a＜0解方程（0.1），从而证明以下结论：对给定一个光滑有界凸区域Ω（?）Rⁿ以及函数φ∈C^∞（（?）），存在一个欧氏完备的具负常相对仿射平均曲率的超曲面。当a＞0时，我们证明了：如果M是欧氏完备的具负常相对仿射平均曲率的超曲面，并且是凸函数f的图，则f的Legendre变换区域是Rⁿ。在第三、四章，我们证明了文[LSC]和[LSZ-2]提出的猜想。在[LSC]中，李-Simon-陈研究了局部强凸的具常仿射Gauss-Kronecker曲率的超曲面。他们证明了对给定一个光滑有界凸区域Ω（?）Rⁿ以及函数φ∈C^∞（（?）Ω），存在一个具常仿射Gauss-Kronecker曲率的超曲面，并且M是欧氏完备和W-完备的。当Ω是标准球的时候，他们还证明了M是仿射完备的。在[LSZ-2]，李-Simon-赵进一步对预定仿射Gauss-Kronecker曲率的超曲面解决了相同的问题。但是下面遗留的问题尚未解决被作为猜想提出：对任意凸区域Ω，M是仿射完备的。在第三、第四章，我们就上面两种情形分别证明了猜想。

全文目录

摘要  3-5
Abstract  5-7
目录  7-8
第一章具有负常数仿射平均曲率的欧氏完备超曲面  8-28
  1.1 引言及预备知识  8-14
  1.2 二阶非线性偏微分方程组  14-16
  1.3 主要定理的证明  16-28
第二章具有负常数相对仿射平均曲率的欧氏完备超曲面  28-42
  2.1 引言及预备知识  28-30
  2.2 相对微分几何  30-34
  2.3 主要定理的证明  34-42
第三章具有常数Gauss-Kronecker曲率的仿射完备超曲面  42-58
  3.1 引言  42
  3.2 基本公式  42-46
  3.3 主要定理的证明  46-58
第四章具有给定Gauss-Kronecker曲率的仿射完备超曲面  58-67
  4.1 引言  58
  4.2 基本公式  58-61
  4.3 主要定理的证明  61-67
参考文献  67-70
作者在攻读博士学位期间的工作目录  70-72
致谢  72

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