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Markov算子的渐近行为与经济系统的几个问题

作　者: 丁义明
导　师: 方福康；范文涛
学　校: 北京师范大学
专　业: 统计科学统计理论
关键词: Markov 算子 Frobenius-Perron算子密度演化稳定性随机扰动银行危机风险分析相容风险度量
分类号: F224
类　型: 博士论文
年　份: 2002年
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引　用: 2次
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内容摘要

本文分两部分,第一部分主要讨论Markov算子的渐近行为, 第二部分考虑经济系统中的几个问题。第二章介绍了离散动力系统的密度演化方法, 包括一些重要概念(如遍历性,混合性和正合性,渐近稳定性等)和结论(Birkho?遍历定理,动力系统的遍历性、混合性、正合性和渐近稳定性的刻画,绝对连续不变测度的存在性等).第三章用密度演化方法研究了两个具体的例子, 第一个例子讨论一簇Lorenz映射的混沌行为与统计稳定性,第二个例子介绍弱排斥子悖论. 通过这两个例子可以看出密度演化方法和轨道方法的差异.第四章讨论Markov算子的渐近行为,主要是Markov算子对密度函数作用的各种收敛性, 包括平均收敛, 弱收敛,强收敛. 这三种收敛性对应于三种(个别或全局)稳定性. 不同于通常的全局性条件,我们引入了一些局部性条件来研究Markov算子的长期行为。主要结论包括不变密度的存在性,双随机算子不变密度的表示,局部下界集条件蕴含双随机算子的(个别)弱稳定性,局部下界集条件蕴含双随机Frobenius-Perron算子的(个别)强稳定性,局部下界函数条件蕴含Markov算子的(个别)强稳定性等。当不变密度唯一时,可以得到相应的全局稳定性。我们还考虑了具有相同不变密度的不同Markov算子复合作用的渐近行为,一致下界函数条件可以保证其渐近(强)稳定性. 对于不同的双随机Frobenius-Perron算子复合作用, 支集相交可蕴含渐近稳定性等. 最后,给出了近似计算Markov算子不变密度的方法.第二部分由一些具体的例子组成. 它们是我们用密度演化方法处理一些特殊的系统的初步结果.第一个例子是关于Solow经济增长模型在特定随机冲击下的稳定性. 我们证明了在白噪声的冲击下,Solow增长模型是渐近稳定的, 也就是说,无论初始分布如何, 随着系统的演化, 将趋近于同一个平稳分布,通过这个平稳分布可以获得与风险有关的一些信息.第二个例子考虑的是EZ模型的演化,它被用来近似描述金融市场中的信息传递过程,胖尾和跟风(Herding)效应. 已有的结果是采用平均场的方法对系统在特定参数条件下进行近似分析,并且得到了幂率(Power law)分布. 我们发现可以用一个状态有限的Markov链来描述系统的演化. 这个Markov链是不可约非周期的, 从而有平稳分布, 从这个平稳分布的存在及其稳定性表明其他学者用模拟方法得到的结论是根据的. 并给出了部分精确计算结果和数值结果.第三个例子分析一个已有结构在外界冲击下的稳定性. 我们选择了银行危机作为例子. 在银行结构给定的情况下, 采用Markov链来分析银行之间债务的转移以及何时破产等问题. 这一处理不同于已有的分析银行危机的方法.最后两章讨论风险分析, 我们先回顾了不确定性经济学,保险和金融领域中的对风险问题的一些基本观点和结论. 风险度量应该包含两方面的内涵: 一是面临风险的决策者的风险偏好,另一是所面临的不确定性状态. 我们给出了一类相容风险度量, 它融合了这两方面的考虑, 可供不同的风险偏好的决策者参考、选择.

全文目录

第1章引言  7-12
  1.1 轨道演化与密度演化  7-9
  1.2 统计系综  9
  1.3 动力系统的稳定性  9-10
  1.4 本文主要工作  10-12
第2章离散系统的密度演化  12-22
  2.1 引言  12-13
  2.2 Markov算子  13-14
  2.3 Frobenius-Perron算子  14-15
  2.4 利用密度演化方法研究混沌行为  15-18
  2.5 绝对连续不变测度的存在性  18-20
    2.5.1 弱预紧性  18-19
    2.5.2 Banach 极限  19
    2.5.3 弱下界函数  19-20
  2.6 统计稳定性  20-22
第3章具体实例  22-34
  3.1 Lorenz映射  22
  3.2 一簇Lorenz映射的混沌行为与统计稳定性  22-31
    3.2.1 混沌行为  23-25
    3.2.2 统计稳定性  25-28
    3.2.3 参数扰动  28-30
    3.2.4 随机作用的随机扰动  30-31
  3.3 弱排斥子悖论  31-32
  3.4 讨论  32-34
第4章 Markov算子渐近行为  34-53
  4.1 个别稳定与渐近稳定  34
  4.2 平均收敛  34-37
  4.3 双随机算子  37-39
    4.3.1 σ-代数  37-39
  4.4 弱收敛  39-40
  4.5 双随机Frobenius-Perron算子  40-42
  4.6 强收敛  42-45
    4.6.1 局部下界函数条件  42-44
    4.6.2 下界函数存在的条件  44-45
  4.7 不同算子的复合作用  45-49
  4.8 Markov 算子的凸组合  49-50
  4.9 不变密度的计算  50-52
    4.9.1 Frobenius-Perron 算子不变密度的计算  50-51
    4.9.2 Markov 算子不变密度的计算.  51-52
  4.10 讨论  52-53
第5章 Solow 经济增长模型的稳定性  53-57
  5.1 引言  53-54
  5.2 Fokker-Planck 方程解的性质  54-55
  5.3 Solow模型在白噪声随机扰动下的渐近稳定性  55-56
  5.4 讨论  56-57
第6章 EZ模型的演化  57-68
  6.1 引言  57-58
  6.2 状态的描述  58
  6.3 系统的演化  58-60
    6.3.1 平稳分布  59-60
  6.4 解析结果:N=5  60-61
  6.5 数值结果:N=18  61-62
  6.6 讨论  62-68
第7章银行危机  68-75
  7.1 引言  68-69
    7.1.1 银行破产  69
  7.2 银行体系  69-70
  7.3 简单的结构模型  70-74
  7.4 讨论  74-75
第8章风险概念分析  75-85
  8.1 引言  75-77
    8.1.1 历史记录  75-76
    8.1.2 风险概念  76
    8.1.3 风险的分类  76-77
  8.2 不确定性经济学  77-79
    8.2.1 风险的模型  77
    8.2.2 风险厌恶  77-78
    8.2.3 风险的比较与度量  78-79
  8.3 保险理论  79-83
    8.3.1 定义  79
    8.3.2 古典风险理论  79-80
    8.3.3 集体风险理论  80-81
    8.3.4 现代风险理论  81-83
  8.4 金融风险  83-84
    8.4.1 定义  83-84
    8.4.2 资产价格变化的模型  84
    8.4.3 其它方面  84
  8.5 讨论.  84-85
第9章一类相容风险度量  85-93
  9.1 引言.  85
  9.2 风险值(VaR)  85-86
  9.3 相容风险度量  86-87
  9.4 ES 和VaR的比较  87-88
  9.5 相容风险度量的构造  88-93
第10章结语  93-96
第11章博士期间发表论文目录(1999-2002)  96-103

Markov算子的渐近行为与经济系统的几个问题

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