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多重非线性抛物方程（组）奇性解的渐近分析

作　者: 王巍
导　师: 郑斯宁
学　校: 大连理工大学
专　业: 基础数学
关键词: 多重非线性抛物方程(组) 非线性扩散非线性边界流 Dirichlet正边值梯度项内部吸收特征代数方程组渐近行为临界指标 Blow-up速率 Blow-up集空间blow-up profile 非同时quenching 局部能量估计
分类号: O175.26
类　型: 博士论文
年　份: 2008年
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内容摘要

本文主要研究几类多重非线性抛物方程（组）奇性解的渐近行为．所讨论的问题包括确定非线性扩散方程组的blow-up临界指标、考查梯度项对非线性抛物方程解的blow-up性质的影响，以及研究带有奇异非线性反应项的抛物问题解的quenching现象等．首先讨论一个具有内部吸收项及耦合边界流的非线性扩散方程组．通过对模型中非线性机制之间相互作用的精确分析，我们确定了其blow-up临界指标．其次考虑含梯度项的非线性抛物模型，探究其中对流项是否并且以何种程度影响解的blow-up行为．最后我们研究有限时刻quenching问题．对于具有耦合吸收项并附加正Dirichlet边界条件的非线性抛物方程组，我们考虑了解的同时与非同时quenching；而对于具有加权非线性吸收的热方程，我们描述了解的quenching时间和quenching集的渐近行为．第一章概述本文所研究问题的实际背景和国内外的发展现状，并简要介绍本文的主要工作．第二章考虑内吸收非线性扩散方程（u^m）_t=△u-a₁u^α₁，（vⁿ）_t=△v-a₂v^β₁经由边界流（?）耦合的初边值问题．通过引入特征代数方程组以及对所有八个非线性指标的完全分类，我们得到对该问题blow-up临界指标的简明而清晰的刻画．由于所考虑模型的一般性，这一工作包含了关于blow-up临界指标的许多已有结果．与单个方程结果的比较可见耦合机制对blow-up临界指标的本质性影响．第三章致力于含梯度项的非线性抛物方程解的blow-up分析，其目的在于研究梯度项对解的渐近行为的影响．对于具有内部吸收项及正性梯度项的半线性抛物方程u_t=△u+|▽u|^r-ae^pu,附加边界条件（?）的初边值问题，我们证明当且仅当r≥2时，梯度项对blow-up的形成起本质作用．进一步，当r>2时，对流项还将显著影响blow-up速率，并且使得blow-up速率具有关于模型参数的不连续性（discontinuous）．然而，梯度项对空间blow-up profile并无本质性影响．对非线性扩散方程w_t=(e^（m-1）w)_xx-λe^（p-1）w附加Neumann边界条件w_x（0，t）=0，w_x（1，t）=e^{（q-m）w（1,t）}的初边值问题，利用scaling方法，我们建立了解的blow-up速率估计．通过适当变换，该方程等价于一含对流项的多孔介质类型方程．虽然此模型中的对流项不改变解的blow-up速率，但它给问题的讨论带来一定的困难．第四章研究有限时刻quenching问题，包括非线性抛物方程组u_t=△u-v^-p，v_t=△u-u^-q，（x，t）∈Ω×（0，T）具有正Dirichlet边界条件的初边值问题，以及带有加权非线性吸收的热方程u_t=u_xx-Mf（x）u^-p,（x，t）∈（-1，1）×（0，T）附加边界条件u（-1，t）=u（1，t）=1和初值φ（x）的模型．对于前一问题，我们建立了Ω=B_R径向解的非同时quenching准则：当p，q≥1时quenching必为同时，当p<1≤q或q<1≤p时必为非同时；若p，q<1且R>（?），则quenching依赖于初值既可能同时也可能非同时．需要提及的是，在对共存性结果的证明中，我们工作的新意在于恰当地定义一个初值集合以使quenching解具有某些一致下界估计．对于后一问题，我们利用局部能量估计方法，得到当M→+∞时解的quenching时间与quenching集的渐近性态．我们有，当M-→+∞时，quenching时间T～（m/（p+1））·1/M，其中m=（?）；并且当M充分大时，quenching点将集中于f／φ^p+1的最大值点．

全文目录

摘要  4-6
Abstract  6-10
1 绪论  10-16
  1.1 问题的背景及发展现状  10-13
  1.2 本文主要内容介绍  13-16
2 非线性扩散方程组的临界指标  16-36
  2.1 问题介绍  16-20
  2.2 定理2.1的证明  20-24
  2.3 定理2.2的证明  24-30
  2.4 定理2.3的证明  30-36
3 具有梯度项的非线性抛物方程解的blow-up分析  36-58
  3.1 多重非线性抛物问题中正性梯度的影响  36-50
    3.1.1 问题介绍  36-40
    3.1.2 临界指标  40-42
    3.1.3 Blow-up速率  42-48
    3.1.4 Blow-up集与空间blow-up profile  48-50
  3.2 非线性扩散方程的blow-up速率  50-58
    3.2.1 问题介绍  50-52
    3.2.2 Blow-up速率  52-58
4 Quenching问题的研究  58-82
  4.1 耦合非线性抛物方程组的同时与非同时quenching  58-71
    4.1.1 问题介绍  58-59
    4.1.2 有限时刻quenching  59-61
    4.1.3 Quenching集与时间导数的blow-up  61-64
    4.1.4 同时与非同时quenching  64-71
  4.2 具有加权吸收的热方程quenching解的渐近估计  71-82
    4.2.1 问题介绍  71-73
    4.2.2 预备结果  73-78
    4.2.3 定理4.10的证明  78-82
结论  82-84
参考文献  84-96
攻读博士学位期间发表学术论文情况  96-98
致谢  98-100

多重非线性抛物方程（组）奇性解的渐近分析

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