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不变子空间方法在非线性偏微分方程中的应用

作　者: 朱春蓉
导　师: 屈长征
学　校: 西北大学
专　业: 基础数学
关键词: 薄膜方程非线性交错扩散方程组二维非线性反应扩散方程不变子空间方法不变集
分类号: O175.29
类　型: 博士论文
年　份: 2009年
下　载: 199次
引　用: 1次
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内容摘要

在本文中,我们主要做了以下三个方面的工作:1.利用不变子空间方法,我们给出了一般薄膜方程的分类.在这些方程中微分算子F[u]允许不变子空间W_n,W_n是由n-阶常系数常微分方程定义的多项式型、三角型、指数型或者混合型线性子空间.在这些不变子空间中,我们构造了方程对应类型的精确解,并将这些方程约化为有限维动力系统.2.将不变子空间方法进行推广,并用于带有交错扩散项的非线性方程组的分类.在这些非线性扩散方程组中,向量微分算子（F₁[u,v],F₂[u,v]）允许不变子空间W_n1¹×W_n2²,而W_n1¹×W_n2²是由常微分方程组定义的线性子空间,n₁,n₂=2,3,4,5.在不变子空间W_n1¹×W_n2²中,我们构造了这些方程的精确解,并将它们约化为有限维动力系统.在大多数情况中,这些精确解的两个分量属于不同的“纯量”子空间.3.利用与不变子空间方法相关的不变集方法,我们构造了二维带有能源项的非线性反应扩散方程的精确解.我们给出了在函数集合E₁={u:u_x:f（t）v_xF（u）,u_y=f（t）v_yF（u）}和E₂={u:u_x=f（t）a’（x）F（u）,u_y=g（t）b’（y）v_yF（u）}（f≠g）中不变的反应扩散方程,并得到它们的精确解.这些解可以看成多孔介质方程的自相似解的推广.我们还描述了这些精确解及其对应介面的行为.

全文目录

摘要  3-5
Abstract  5-9
第一章绪论  9-21
  1.1 非线性偏微分方程(组)  9-10
  1.2 偏微分方程的精确解  10-14
  1.3 线性不变子空间方法  14-16
  1.4 本文主要研究的内容  16-21
第二章不变子空间方法在一般薄膜方程中的应用  21-42
  2.1 引言  21-24
  2.2 方程(2.1)的分类  24-33
    2.2.1 四维不变子空间  24-27
    2.2.2 五维、六维、七维、八维、九维不变子空间  27-33
  2.3 例子  33-38
  2.4 一类非线性演化方程初值问题关于时间t的幂级数解  38-42
第三章不变子空间方法的推广及其在非线性交错扩散方程组中的应用  42-82
  3.1 引言  42-43
  3.2 不变子空间方法的推广  43-46
  3.3 方程组(3.1)的分类  46-76
    3.3.1 W_5~1×W_5~2(最大维)  46-47
    3.3.2 W_5~1×W_4~2  47-51
    3.3.3 W_5~1×W_3~2  51-55
    3.3.4 W_5~1×W_2~2  55
    3.3.5 W_4~1×W_4~2  55-56
    3.3.6 W_4~1×W_3~2  56-57
    3.3.7 W_4~1×W_2~2  57-61
    3.3.8 W_3~1×W_3~2  61-63
    3.3.9 W_3~1×W_2~2  63-70
    3.3.10 W_2~1×W_2~2  70-76
  3.4 例子  76-82
第四章二维非线性扩散方程的不变集和不变解  82-103
  4.1 引言  82-85
  4.2 不变函数集合E_1  85-91
    4.2.1 v(x,y)=(x~2+y2)/2  86-88
    4.2.2 v(x,y)=xy  88-90
    4.2.3 v(x,y)=ln(?)  90-91
  4.3 不变函数集合E_2  91-103
    4.3.1 a(x)=x~2/2,b(y)=y~2/2  91-98
    4.3.2 a(x):x,b(y)=y~2/2  98-103
第五章总结和展望  103-106
参考文献  106-114
攻读博士学位期间取得的科研成果  114-116
致谢  116

不变子空间方法在非线性偏微分方程中的应用

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