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右删失数据与经验似然方法

作　者: 梁薇
导　师: 何书元
学　校: 北京大学
专　业: 概率论与数理统计
关键词: 经验似然右删失数据 EM算法一般估计方程标准χ~2分布
分类号: O212.7
类　型: 博士论文
年　份: 2011年
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内容摘要

本文主要的研究内容是将经验似然方法运用于右删失数据中,进行参数的统计推断.经验似然方法是一种非参数统计方法.与传统的渐近正态方法相比较,基于独立同分布完全观测数据,由经验似然方法所构造的参数的经验似然置信区间不需要估计渐近方差,这是经验似然方法的一个优点.但是,将经验似然方法运用到右删失数据时,由于以往研究中所定义的右删失数据的对数经验似然比统计量并非渐近收敛到标准χ2分布,故在构造参数的经验似然置信区间时,经验似然方法的优势不复存在.本文详细研究了在右删失数据下,如何定义经验似然比统计量,使其渐近分布为标准χ2分布,避免在构造参数的经验似然置信区间时估计渐近方差,并且提高估计的精确性.本文分为五章.第二章背景知识详细介绍了经验似然理论、经验过程理论以及半参模型理论,并且用随机模拟比较了独立同分布完全观测数据下,渐近正态方法与经验似然方法所构造的参数置信区间.由模拟结果可以看出,渐近正态方法与经验似然方法得到的参数置信区间的大样本性质相同;在样本量较小时,渐近正态方法与经验似然方法各有优劣,并非哪个方法有绝对优势.第三章主要介绍了右删失数据下,平均剩余寿命的似然比推断.本章直接从右删失数据的似然函数出发,定义了右删失数据下平均剩余寿命的似然比统计量,并且证明了此时的似然比统计量渐近收敛于标准χ2分布.由于上述似然比统计量不能通过优化方法直接解得,故本章将EM算法与Owen所提的经验似然方法相结合,计算出平均剩余寿命的似然比统计量,得到似然比置信区间.相应的模拟结果表明,与以往的方法相比,本章所得到的似然比统置信区间的覆盖率较高.第四章主要研究一般观测数据下,满足某一估计方程的参数的经验似然推断.本章首先讨论了在什么条件下,由含有讨厌参数估计量的估计方程所定义的对数经验似然比统计量渐近收敛于标准χ2分布.其次讨论了使用不同估计方程所定义的对数经验似然比统计量的检验功效,并且证明了在一定条件下,由参数的有效影响函数所定义的对数经验似然比统计量的检验功效是最高的.最后,以右删失数据下均值的估计为例,本章证明了右删失数据下均值的有效影响函数能够作为估计方程,并且由此构造的对数经验似然比统计量渐近收敛于标准χ2分布.进一步,本章将上述方法与渐近分布为加权χ2分布的经验似然方法进行了详细的比较.相应的模拟结果表明,本章提出的方法所构造的参数置信区间覆盖率较高,并且这个方法在模拟中耗费的计算时间较短.第五章主要研究估计方程个数大于参数维数(也称为一般估计方程问题)时,右删失数据的经验似然推断.针对独立同分布完全观测数据,Qin,Lawless (1994)提出了一般估计方程下的经验似然方法.本章内容是将他们的方法由独立同分布完全观测数据推广到右删失数据下.根据第四章关于右删失数据均值估计问题的讨论,本章提出了两个具体的针对右删失数据的估计方程,用于定义一般估计方程下右删失数据的对数经验似然比统计量.本章的主要结论证明了这两个估计方程所对应的对数经验似然比统计量分别渐近收敛于加权χ2分布和标准χ2分布.此外,本章还讨论了由不同估计方程所得到参数的极大经验似然估计量,并且说明了在一定范围内,渐近分布为标准χ2分布的对数经验似然比统计量所对应的估计方程是最优的,即由此估计方程所得到的极大经验似然估计量的渐近方差最小.本章的模拟结果表明,与渐近分布为加权χ2分布的对数经验似然比统计量相比较,渐近分布为标准χ2分布的对数经验似然比统计量所得到参数的置信区间覆盖率较高.

全文目录

摘要  3-5
ABSTRACT  5-9
第一章引言  9-18
  1.1 研究背景  9-12
  1.2 第二章的主要内容  12
  1.3 第三章的主要内容  12-13
  1.4 第四章的主要内容  13-15
  1.5 第五章的主要内容  15-18
第二章背景知识  18-59
  2.1 经验似然方法  18-33
    2.1.1 思想的介绍  18-19
    2.1.2 解的存在性  19-25
    2.1.3 模拟实验  25-32
    2.1.4 发展状况  32-33
  2.2 经验过程理论  33-41
    2.2.1 随机映射及其收敛性的定义  34-35
    2.2.2 G-C 函数类、Donsker 函数类定义及其性质  35-41
  2.3 半参模型推断理论  41-59
    2.3.1 半参有效界、有效影响函数  41-49
    2.3.2 最不利子模型(least favorable submodel)  49-54
    2.3.3 似然比推断定理  54-59
第三章右删失数据下，平均剩余寿命的似然比推断  59-99
  3.1 背景介绍  59-62
  3.2 主要定理  62-68
  3.3 平均剩余寿命的似然比推断  68-79
    3.3.1 右删失数据下，平均剩余寿命的推断  68-72
    3.3.2 右删失数据下，长度偏差模型中平均剩余寿命的推断  72-79
  3.4 附录：主要结论的证明  79-99
第四章由估计方程所定义参数的经验似然推断  99-139
  4.1 背景介绍  99-103
  4.2 主要定理  103-115
  4.3 检验功效的讨论  115-125
  4.4 模拟结果  125-131
    4.4.1 模型存在限制条件下，均值检验功效的比较  125-128
    4.4.2 右删失数据下，两种方法的比较  128-131
  4.5 附录：主要结论的证明  131-139
第五章右删失数据下，一般估计方程的经验似然方法  139-204
  5.1 背景介绍  139-143
  5.2 主要结果  143-156
    5.2.1 右删失数据下，一般估计方程U(θ) 的经验似然推断  143-149
    5.2.2 估计方程V(θ) 的经验似然推断  149-152
    5.2.3 估计方程W(θ) 的经验似然推断  152-156
  5.3 其他相关讨论  156-164
    5.3.1 模型的假设检验问题以及部分参数的假设检验问题  156-160
    5.3.2 估计方程的选取  160-164
  5.4 模拟结果  164-172
    5.4.1 估计方程维数r 大于参数维数p 时，参数估计的模拟结果  164-170
    5.4.2 回归模型中，仅考虑部分参数估计的模拟结果  170-172
  5.5 附录：主要结论的证明  172-204
参考文献  204-208
致谢  208-209
攻读博士学位期间科研成果  209-210

右删失数据与经验似然方法

内容摘要

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