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若干非线性发展方程孤子解分解和相互作用研究

作　者: 叶鹏
导　师: 郭玉翠
学　校: 北京邮电大学
专　业: 应用数学
关键词: 非线性发展方程孤子(解) Hirota双线性方法 Boussinesq方程 KP方程孤子相互作用
分类号: O175.29
类　型: 硕士论文
年　份: 2006年
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内容摘要

孤(立)子在很多非线性现象中广泛存在，在现代科学技术的发展中有着重要的应用。孤子理论——非线性偏微分方程(非线性的PDEs)的理论——于40多年前开始发展，今天这个理论研究不但更加深入，而且在物理和工程科学应用的推动下仍然在快速地发展。孤子现象在两个条件下存在：第一，在没有任何外部阻碍的情况下，存在具有持续结构(形状、速度等)传播的稳定的孤立波。第二，如果一个孤立波遇到另一个同类的立孤波，它们相互作用，但不会破坏相互的特性(即所谓的弹性作用)。这样的孤波定义为孤(立)子。孤子现象本质上是非线性现象。本文主要目的是研究用Hirota双线性方法求非线性发展方程的孤子解以及孤子的性质、分解和相互作用的探讨，以便更好地利用孤子。通常在应用数学中，将孤立子理解为非线性发展方程局部化的行波解，经过互相碰撞后，不改变波形和速度(或许相位发生变化)。而在物理学领域，孤立子被理解为经相互作用后，波形和速度只有微弱改变的孤立波，或者被理解为非线性发展方程能量有限的解，即能量集中在空间有限区域，不随时间的增加而扩散到无限区域中去。非线性发展方程孤子解的应用十分广泛，尤其是在非线性光纤光孤子通信中的应用在近年来得到广泛的研究。因此，研究非线性发展方程孤子解的求法以及孤子的性质、分解和相互作用显得尤为必要，也有实际应用价值。本文以非线性发展(演化)方程的理论为基础，结合正在快速发展的孤子理论，利用数学软件，研究了非线性发展方程的一类解——孤子解。主要完成了以下工作：首先分析总结了孤子的类型以及多孤子、孤子的无穷多守恒律，通过对这些孤子基本知识的分析了解可以更好地研究孤子及其性质；其次研究了Hirota双线性方法求非线性发展方程的孤子解并以Boussinesq方程和(3+1)维KP方程为例讨论Hirota双线性方法在求非线性发展方程孤子解的具体应用，同时给出了一种简单Hirota方法及其应用；在求得单孤子解和双孤子解后，研究了孤子解的一种分解方法和孤子的相互作用，并通过图形给出了孤子相互作用的两种情形，比较了孤子的两种不同作用过程。我们希望通过这些研究进一步了解求解非线性发展方程的孤子解、孤子的性质和应用。

全文目录

摘要  3-5
ABSTRACT  5-10
第一章绪论  10-18
  1.1 非线性科学与非线性发展方程  10-13
  1.2 孤立波与孤立子  13-16
  1.3 孤立子理论  16-17
  1.4 主要内容和结构安排  17-18
第二章孤立子的类型  18-30
  2.1 KdV方程及钟型孤立子  18-20
  2.2 Sine-Gordon方程、纽结孤子和呼吸子  20-23
  2.3 NLS方程及包络孤立子  23-28
    2.3.1 非线性光学效应与NLS方程  24-25
    2.3.2 亮孤子解  25-26
    2.3.3 暗孤子解  26-28
  2.4 孤子方程的无穷多守恒律  28-30
第三章 Hirota双线性方法及应用  30-49
  3.1 Hirota双线性算子及主要性质  30-32
    3.1.1 Hirota双线性算子  30-31
    3.1.2 双线性算子主要性质  31-32
  3.2 Hirota双线性方法在Boussinesq方程中的应用  32-38
    3.2.1 Bq方程的Hirota双线性形式  33-34
    3.2.2 Hirota方法求Bq方程的孤子解  34-38
  3.3 Hirota双线性方法在KP方程中的应用  38-44
    3.3.1 KP方程的Hirota双线性形式  39-40
    3.3.2 Hirota方法求KP方程的孤子解  40-44
  3.4 简单Hirota方法及应用  44-49
第四章孤子解分解及相互作用  49-62
  4.1 孤子解的分解  49-53
  4.2 孤子的相互作用  53-62
    4.2.1 (3+1)维KP方程孤子解的相互作用  54-57
    4.2.2 Bq方程孤子解的相互作用  57-62
结束语  62-63
参考文献  63-65
致谢  65

若干非线性发展方程孤子解分解和相互作用研究

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