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随机Cahn-Hilliard方程的吸引子

作　者: 黄青霞
导　师: 李扬荣
学　校: 西南大学
专　业: 应用数学
关键词: 吸收集吸引集随机动力系统全局吸引子 Cahn-Hilliard方程白噪声 Wiener-过程
分类号: O175.29
类　型: 硕士论文
年　份: 2008年
下　载: 53次
引　用: 1次
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内容摘要

吸引子是最近兴起的热点问题之一．全局吸引子已成为描述一些偏微分方程的解所产生的动力系统渐近行为的有用工具．全局吸引子是一个不变集且吸引系统的每一个轨道．全局吸引子的形状较为复杂，反映了动力系统在无穷远时间处的复杂性．确定性的情况已被很多学者系统地研究过．在1994年，Crauel H．和Flandoli F．在[2]中通过吸引集的定义为随机动力系统定义了全局吸引子．在随机情况下，全局吸引子是一个紧的不变随机集且吸引每一个确定的有界集．由此，吸引子理论得到更进一步的发展．在本文中，我们考虑了Cahn-Hilliard方程的吸引子．该方程是由Cahn和Hilliard在[7]中首次引入，用来描述二元合金随着温度t的变化阶段性分离物的变化情况．确定性的情况已被Temma等人系统的研究过．因此象最近一些学者考虑其他方程那样，我们考虑了一些非正则性条件，给方程分别加上一个随机部分——加法白噪声和乘法白噪声．考虑它们的随机吸引子情况．在这里我们考虑了如下两种情况的随机Cahn-Hilliard方程du+（△²u-△f（u））dt=φdw，（0．1）和du+（△²u-△f（u））dt=u o dw．（0．2）这里（x，t）∈G×R，G=multiply from i=1 to n（0，L_i），L_i>0是Rⁿ中具有光滑边界Г的一个有界开区域，n=1，2，或3．f是一个2p-1次多项式f（u）=sum from j=1 to （2p-1）a_ju^j，p∈N，p≥2，a_2p-1>0．（0．3）φ∈D（A²）∩（?）²（G），Aφ∈Z，其中A，D（A²），（?）²（G）见文中定义．与两方程相应的边界条件是周期边界（?）|_{x_i=0}=（?）|_{x_i=L_i}，i=1，…，n．白噪声是用被现实干扰的Wiener-过程描述的．这里我们假设w（t）是定义在概率空间（Ω，F，P）上的一个双边Wiener-过程，其中Ω={ω∈C（R，R）：ω（0）=0}．Da Prato G．和Debussche A．在[4]中证明了方程（0．1）存在唯一解．类似的我们也可以得出方程（0．2）也有唯一解．这个唯一解将产生一个随机动力系统（RDS）S．本文的目的就是证明与这个随机RDS相应的全局吸引子的存在性．由于这两个方程及所给边界条件的特殊性，即使在确定性的情况下也很难在L²（·）空间中找到全局吸引子．因此我们考虑在文中所定义的空间V_-1中全局吸引子的存在情况．由定理1．3．21，我们只要能找到一个紧的随机吸收集吸收V_-1空间中每一个确定的有界集B即可．因此我们需要做下面两步：首先，证明方程的每一个解在V_-1空间中都是一个确定的有界集．第二，证明在V（-1）空间中存在一个紧的随机吸收集吸收上述的每一个有界集．在证明所找到的吸收集紧性的时候，很多学者应用的是两个空间的紧嵌入关系．但是在本文中V（-1）空间和L²（G）空间不具备紧嵌入关系，因此我们不能再用上述理论证明．在此我们利用文中定义的算子A^-1/2的紧性证明了吸收集的紧性．在第二章我们证明了带有加法白噪声的Cahn-Hilliard方程的解在V_-1空间中具有下述性质：引理2．1存在一个随机半径γ₁（ω）>0，使得对任意的ρ>0，存在（?）≤-1，当t₀≤（?）且u₀∈V_-1，‖u₀‖_-1≤ρ时，对于几乎所有的ω∈Q，方程（0．1）的解u（t，ω；t₀，u₀）满足‖u（t，ω；t₀，u₀）‖_-1²≤γ₁²（ω）．为了下面引理证明的方便，我们也证明了下面的引理：引理2．2存在随机半径c₁（ω），c₂（ω），c₃（ω）>0，使得对任意ρ>0，存在（?）≤-1，当t₀≤（?）且u₀∈V_-1，‖u₀‖_-1≤ρ时，对于几乎所有的ω∈Ω，方程（0．1）的解u（t，ω；t₀，u₀）和文中（2．7）的解v（t，ω；t₀，v₀）满足∫_-1⁰‖u（t）‖₁² dt≤c₁²（ω），∫_-1⁰ |v（t）|²dt≤c₂²（ω），∫_-1⁰‖u（t）‖_Z^2pdt≤c₃²（ω）．下述引理说明在V_-1空间中存在紧的吸收集吸收V_-1中每一个确定的有界集．引理2．3在V_-1空间中存在紧的随机集B（0，γ₂（ω）），使得对一切ρ>0，存在（?）≤-1，当t₀≤（?）且u₀∈V_-1，‖u₀‖_-1≤ρ时，方程（0．1）的解u（0，ω；t₀，u₀）（?）B（0，γ₂（ω））对于ω∈Ω几乎处处成立．由此我们得到了下面有用的结论：定理2．4带有加法白噪声且具有周期边界条件的Cahn-Hilliard方程的解所产生的随机动力系统在V_-1空间中存在全局吸引子吸引V_-1空间中所有确定的有界集．对带有乘法白噪声的Cahn-Hilliard方程我们得到了相似的结论：引理3．1存在一个随机半径λ₁（ω）>0，使得对任意的ρ>0，存在（?）≤-1，当t₀≤（?）且u₀∈V_-1，‖u₀‖_-1≤ρ时，对于几乎所有的ω∈Ω，方程（0．2）的解u（t，ω；t₀，u₀）满足‖u（t，ω；t₀，u₀）‖_-1²≤λ₁²（ω）．引理3．2存在随机半径a₁（ω），a₂（ω）>0，使得对任意ρ>0，存在（?）≤-1，当t₀≤（?）且u₀∈V_-1，‖u₀‖_-1≤ρ时，对于几乎所有的ω∈Ω，方程（0．2）的解u（t，ω；t₀，u₀）和文中（3．5）的解v（t，ω；t₀，v₀）满足∫_-1⁰‖u（t）‖₁²dt≤a₁²（ω），∫_-1|v（t）|²dt≤a₂²（ω）．引理3．3在V_-1空间中存在紧的随机集B（0，λ₂（ω）），使得对一切ρ>0，存在（?）≤-1，当t₀≤（?）且u₀∈V_-1，‖u₀‖_-1≤ρ时，方程（0．2）的解u（0，ω；t₀，u₀）（?）B（0，λ₂（ω））对于ω∈Ω几乎处处成立．定理3．4带有乘法白噪声且具有周期边界条件的cahn-Hilliard方程的解所产生的随机动力系统在V_-1空间中存在全局吸引子吸引V_-1空间中所有确定的有界集．

全文目录

摘要  3-6
ABSTRACT  6-10
第1章引言和预备知识  10-16
  1.1 引言  10
  1.2 文献综述  10-11
  1.3 预备知识  11-16
第2章带有加法白噪声的Cahn-Hilliard方程的吸引子  16-24
  2.1 有用的符号和定义  16-17
  2.2 带有加法白噪声的Cahn-Hilliard方程  17-18
  2.3 解方程产生相应的RDS  18
  2.4 方程的解在V_(-1)空间中的有界性  18-21
  2.5 在V_(-1)空间中紧的吸收集的存在性  21-24
第3章带有乘法白噪声的Cahn-Hilliard方程的吸引子  24-30
  3.1 带有乘法白噪声的Cahn-Hilliard方程  24
  3.2 解方程产生相应的RDS  24-25
  3.3 方程的解在V_(-1)空间中的有界性  25-27
  3.4 在V_(-1)空间中紧的吸收集的存在性  27-30
第4章进一步的问题  30-31
参考书目(References)  31-35
致谢  35-36
攻读硕士学位期间的科研成果  36

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