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麦克斯韦方程的保结构算法

作　者: 蔡加祥
导　师: 王雨顺
学　校: 南京师范大学
专　业: 计算数学
关键词: 麦克斯韦方程多辛结构 Etler-box格式组合格式自共轭格式 Preissman格式能量守衡律 Yee格式
分类号: O411.1
类　型: 硕士论文
年　份: 2007年
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内容摘要

自1873年，麦克斯韦建立了描述电场强度和磁场强度随着时间和空间变化关系的电磁波方程以来，电磁波理论发展已经有一百多年的历史。目前，电磁波的研究和应用已经深入到各个领域。然而，由于实际环境的复杂性，通常只有一些经典问题有解析解，因此往往需要通过数值解得到具体环境下的电磁波特征。辛算法是由我国科学家冯康先生在上个世纪80年代提出并系统总结出来的一类拥有稳定性和长时间计算准确性的数值方法。近年来，Bridges和Marsden等人推广了辛算法，提出了多辛算法的概念。随着多辛理论的逐步建立，许多学者尝试了用多辛算法来计算比较著名的偏微分方程，比如：非线性波方程，schr(o|¨)dinger方程，Korteweg-de Vries方程，Zakharov-Kuznetsov方程，Kadomtsev-Petviashvili方程并取得了满意的效果。目前，多辛算法计算麦克斯韦方程还没有人尝试过。本文的出发点是发展麦克斯韦方程的多辛理论和多辛算法并检验了多辛算法求解2+1维电磁波方程的有效性。基于麦克斯韦方程的Bridges多辛结构，我们得到了三个求解麦克斯韦方程的多辛格式。在第二章，我们推得一个求解麦克斯韦方程的多辛Euler-box格式，并且证明这个格式在时间方向是自共轭的。接着利用这个格式得到了关于时间方向的组合格式，而且这个组合格式也是多辛的。第三章，我们在时间和空间方向同时用辛中点离散规则离散麦克斯韦方程的Bridges形式，消去参量从而得到了一个求解麦克斯韦方程的两层102点格式。通过推导，我们证明了这个多辛中点格式能够精确保持离散的局部能量。在这章中，我们对中点格式做了后误差分析，得到了修正方程。通过修正方程，得到了这个格式的截断误差。自共轭格式和组合格式进行的两个数值实验结果表明，这两个多辛格式用来计算2+1维的麦克斯韦方程是相当有效的。实验结果也表明了组合思想的是切实可行的。Preissman格式与Yee格式的数值实验比较发现，中点格式能够得到更好的数值结果。数值结果也反应了Preissman格式相当好的保持了离散的局部能量和解的波形。因此，我们可以说多辛算法是计算求解麦克斯韦方程的一个有力的工具。

全文目录

摘要  4-5
英文摘要  5-7
引言  7-11
第1章辛几何和多辛几何  11-24
  1.1 辛流形上的Hamilton方程  11-13
  1.2 无穷维Hamilton系统及多辛结构  13-19
  1.3 多辛格式的构造  19-20
  1.4 麦克斯韦方程的多辛结构  20-24
第2章麦克斯韦方程的Euler-box格式  24-39
  2.1 多辛自共轭格式  24-30
    2.1.1 格式推导  24-28
    2.1.2 自共轭格式计算问题的讨论  28-30
  2.2 基于Euler-box格式的组合格式  30-32
  2.3 数值结果  32-39
第3章麦克斯韦方程的Preissman格式  39-60
  3.1 格式的推导  39-44
  3.2 格式的局部能量守恒律  44-49
  3.3 后误差分析  49-52
  3.4 数值实验  52-60
第4章结论和展望  60-61
参考文献  61-64
作者简介  64
硕士期间的科研成果  64-65
致谢  65

麦克斯韦方程的保结构算法

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