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4p阶内2-闭群上Cayley图的若干性质

作　者: 张翠
导　师: 徐尚进
学　校: 广西大学
专　业: 基础数学
关键词: 内2-闭群 Cayley图 图同构 DCI-性 正规性 DRR Hamilton-性 边-Hamilton性
分类号: O157.5
类　型: 硕士论文
年　份: 2006年
下　载: 23次
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内容摘要


Cayley图是由A．Cayley在1878年提出的，当时为了解释群的生成元和定义关系，但由于它构造的简单性、高度的对称性和品种的多样性，越来越受到图论学者的重视，成为群与图的一个重要研究领域，本文的工作主要围绕这个方面展开。 Cayley图的同构问题是这个研究领域的一个基本问题，一般来说，Cayley图的同构问题十分复杂。首先，要探索同一个群的不同Cayley图之间何时同构。其次，不同群的Cayley图之间也可能有同构的情形（一个极端的例子n点完全图Kn是任一n阶群的Cayley图）（参见文献[1]）。到目前为止，人们的研究多局限在前一个问题上，而且多限于研究所谓的CI-性质上。然而DCI-群是非常稀少的[2，3，4，5]，所以人们转而研究群的m-DCI-性及m-CI-性[6，7，8]，甚至弱m-DCI-性、弱m-CI-性[8，9，10]。本文主要研究内2-闭群G=<a，b|a2α=bp=1，a-1ba=b-1>的m-DCI-性（m=1，2，3；α=2）及弱m-CI-性（m=4，5；α=2）。特别的，证明了12阶内2-闭群是弱CI-群。事实上，当α=1时，|G|=2p，Babai在1977年证明了2p阶群都是DCI-群。而当α=2时，G为4p阶广义双循环群，我们在本文证明了G是3-DCI-群和弱5-CI-群。 对点传递图对称性的研究和分类这些年来非常活跃[11，12]，Cayley图是最重要的一类点传递图，而在这些问题的研究中，经常要决定相应Cayley图的全自同构群[13]。Cayley图的正规性问题也是群的图正则表示（GRR）问题解决之后应进一步研究的一个问题[14]。本文主要给出了4p阶内2-闭群上的连通4度正规无向Cayley图的完全分类，实际上这也是4p阶内2-闭群上的连通4度Cayley图的所有正规无限族。对于12阶内2-闭群上的连通6度正规无向Cayley图也给出了它的完全分类。此外，对于4p阶的情形，还给出了一些连通6度正规Cayley图的无限族。 在Cayley图的同构问题上，研究主要集中在两个方面，除了CI-性及DCI-性的问题外，另一个是70年代人们研究有限群的图正则表示的问题。本文在研究了其正规性之后，又进一步研究了它的对称性，找出了阶为12的内2-闭群的所有的3度、4度DRR，并作为推广也给出了4p阶内2-闭群G的3度、4度DRR一些无限族的例子。 一个图是否具有Hamilton圈和Hamilton路的问题是图论研究的重要问题之一，它具有重要的理论意义和实际意义。本文在最后简要的讨论了

全文目录


第一章 引言  8-13
第二章 预备知识  13-19
  2.1 基本概念  13-15
  2.2 主要性质及引理  15-17
  2.3 部分引理的证明  17-19
第三章 主要结果  19-42
  3.1 4p阶内2-闭群的m-DCI-性及弱n-CI性  19-29
  3.2 4p阶内2-闭群上Cayley图的正规性  29-35
  3.3 4p阶内2-闭群的图正则表示  35-40
  3.4 4p阶内2-闭群上Cayley图的Hamilton性及边-Hamilton性  40-42
参考文献  42-46
附录  46-50
致谢  50-51
攻读学位期间发表的学术论文  51

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