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美式期权定价问题的数值方法研究

作　者: 张蕾
导　师: 赵卫东
学　校: 山东大学
专　业: 概率论与数理统计
关键词: 多维Black-Scholes公式美式期权迎风方法有限体积方法算子分裂方法 Brennan&Schwartz算法
分类号: F224
类　型: 硕士论文
年　份: 2006年
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内容摘要

1973年，Black&Scholes的开创性论文“期权定价与公司债务”的发表，标志着金融衍生证卷定价理论的诞生。为了得到Black&Scholes公式，我们假设标的资产为价格服从对数正态分布的单支股票，其波动率和无风险利率都为常数，并假设股票在期权执行之前不支付利息。但是，在实际金融市场中，我们常需要考虑些期权，它们的价格由多个风险因素决定，例如标的资产是多支股票，期货、甚至多种货币或者一种外币的多种组合，波动率或者无风险利率具有随机性等。在这些条件下，可利用倒向随机微分方程和鞅方法，建立具有变系数的多维Black-Scholes公式。我们知道，一维Black-Scholes公式是一个抛物型偏微分方程，我们可以得到它的解析解。类似的，多维Black-Scholes公式通常为带混合导数的高维抛物型偏微分方程：以上方程的解析解很难具有显示表达式，而且由于符号的繁冗以及计算的复杂性，得到其近似解的方法始终困扰着我们。对于这类方程，我们有很多数值方法来近似：蒙特-卡罗模拟方法，二叉树方法，以及偏微分方程数值解法(有限差分、有限元、有限体积法等)。由于蒙特-卡罗模拟的计算量不以指数形式增长，多被采用于解决高维问题。但是我们知道蒙特-卡罗模拟方法具有稳定性不确定的缺陷，因此在考虑具有可提前执行性质的美式期权定价问题时，更倾向于采用偏微分方程数值解法。本文以二维问题为例，来研究多维Black-Scholes公式的数值近似方法。例如，随机波动率下的期权定价问题。对于欧式期权定价问题，其价格可以通过近似一个偏微分方程得到，该方程通常为一个含有二阶混合导数的变系数对流扩散方程。在使用偏微分方程数

全文目录

摘要  4-6
ABSTRACT  6-9
第一章引言  9-11
第二章多维Black-Scholes公式一般形式  11-13
第三章期权定价模型：Heston模型  13-17
第四章数值方法：有限体积方法  17-37
  4.1 求解区域剖分  17-18
  4.2 有限体积方法  18-26
  4.3 迎风有限体积格式  26-32
  4.4 算子分裂方法  32-37
第五章数值格式分析  37-43
  5.1 误差分析  37-39
  5.2 极大值原理、稳定性及收敛性  39-43
第六章数值实验  43-49
参考文献  49-51
致谢  51-52
学位论文评阅及答辩情况表  52

美式期权定价问题的数值方法研究

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