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时滞微分方程在生态学中的应用

作　者: 马剑
导　师: 张春蕊
学　校: 东北林业大学
专　业: 生物物理学
关键词: 生态学 微分方程 时滞 Hopf分支 数值解
分类号: Q141
类　型: 硕士论文
年　份: 2006年
下　载: 249次
引　用: 3次
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内容摘要


作为数学的一个分支，时滞微分方程理论在诸如自动控制、物理学、生态学、医学、商业、经济学、化工、机械等领域发挥着不可忽视的作用。尤其在最近几十年，交叉学科的出现更激发了整个时滞微分方程理论的发展。本文讨论时滞微分方程在生态学中的应用，主要研究两个问题：①捕食种群随时间的演变规律；②森林生态系统演变的动力学特性。通过对上述问题的讨论，最终实现对某些生态现象给予理论上的预测和解释的目的。 本文以时滞微分方程理论为基础，通过对其特征方程根的讨论得到该时滞微分方程的局部稳定性，进而分析整个系统的性质。通常情况下，时滞微分方程的特征方程是指数多项式方程，它是一类超越方程。本文在第三章从理论上就讨论了一类超越方程根的稳定性，并且在其可能产生的几种特殊情形下，对稳定性和Hopf分支作了具体讨论。 在第四章和第五章里，本文利用第三章的研究方法，探讨了两类具体的生物数学模型。第四章，研究从斜纹夜蛾—蔬菜生物模型中抽象出来的一类具有传染病的两种群间相互作用模型。模型中，分别考虑了植物，健康害虫和已染病害虫的密度，并通过研究模型的线性稳定性，给出了一列Hopf分支值。然后，利用中心流形定理和正规型方法，给出了确定分支周期解的分支方向与稳定性的计算公式。从而，利用生态系统内部种群间的彼此相互作用原理，阐明了种群受外界(传染病)干扰后持续生存、发展的动态平衡条件。 第五章，利用生态学的系统分析理论，通过讨论红松林生态系统中的主要因素(松籽、鼠类和松树幼苗)之间的动态变化对整个系统性态变化的影响，研究了红松林生态系统的动力学行为。这里主要探讨的是在更复杂的时滞因素的影响下，系统达到动态平衡的条件，平衡态的稳定性，以及平衡点、周期解性状的变化等。这些结论表明了红松林生态系统的动力学演变特性，对我国北方森林的保护和开发利用具有理论意义和应用价值。 第六章，初步探讨了非线性时滞微分方程的数值逼近问题，即当非线性时滞微分方程经历Hopf分支时，其数值解是否也存在Hopf分支点。文中主要采用θ—方法讨论数值解的Hopf分支，并且证明步长足够小时，Hopf分支点逐渐趋于连续情形下的状态，此外还相应地讨论了一个简单的单种群模型数值解的Hopf分支，最终阐明了方程的数值解依然保持着原方程解析解的动力学特性。

全文目录


摘要  3-4
Abstract  4-8
1 绪论  8-15
  1．1 前言  8-10
    1．1．1 生态学的基本概念  8-9
    1．1．2 生态系统的发展变化及研究策略  9-10
  1．2 数学生态学的发展概况及其理论模型的研究  10-12
    1．2．1 数学生态学的历史发展概况  10-11
    1．2．2 常微分方程与时滞微分方程模型  11-12
  1．3 近代时滞微分方程理论  12-14
    1．3．1 时滞微分方程的基本概念及其发展  12-13
    1．3．2 时滞微分方程分支理论的发展  13-14
  1．4 微分方程中数值处理的研究进展  14-15
2 预备知识  15-21
  2．1 时滞微分方程系统的基本理论  15-20
    2．1．1 基本概念  15
    2．1．2 非线性系统的平衡点及其稳定性  15-16
    2．1．3 时滞微分方程Hopf分支理论  16-18
    2．1．4 时滞微分系统中常用的基本定理  18-20
  2．2 时滞微分方程的数值处理理论  20-21
3 一类超越方程根的稳定性分析  21-33
  3．1 序言  21
  3．2 方程一般情形下的稳定性讨论  21-24
  3．3 几种特殊情形的分析  24-32
    3．3．1 情形一  24-28
    3．3．2 情形二  28-29
    3．3．3 情形三  29-30
    3．3．4 情形四  30-31
    3．3．5 情形五  31-32
  3．4 本章小结  32-33
4 一类具有时滞的传染病模型  33-45
  4．1 序言  33-34
  4．2 模型中平衡点的稳定性分析  34-38
    4．2．1 平衡点E_0、E_1、E_2、和E_4的稳定性  35
    4．2．2 平衡点E_3的稳定性  35-37
    4．2．3 平衡点E~*的稳定性  37-38
  4．3 典型特例  38-40
  4．4 以τ为参数的Hopf分支性质  40-43
  4．5 生态学意义  43-44
  4．6 本章小结  44-45
5 红松林时滞生态系统动态分析  45-51
  5．1 序言  45-47
  5．2 系统平衡点的稳定性分析  47-49
  5．3 Hopf分支的分支图  49
  5．4 生态学意义  49-50
  5．5 本章小结  50-51
6 一阶时滞微分方程席它方法的数值Hopf分支  51-58
  6．1 序言  51-52
  6．2 时滞微分方程θ—方法Hopf分支的数值逼近  52-55
  6．3 特例  55-57
  6．4 本章小结  57-58
结论  58-59
参考文献  59-62
攻读学位期间发表的学术论文  62-63
致谢  63-64

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中图分类: > 生物科学 > 普通生物学 > 生态学（生物生态学） > 数学生态学与生物模型
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