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非线性方程的加速算法

作　者: 陈红
导　师: 李炜
学　校: 杭州电子科技大学
专　业: 运筹学与控制论
关键词: 非线性方程 牛顿迭代法 收敛的阶 牛顿法的变形 幂平均牛顿法 渐近误差常数
分类号: O241.7
类　型: 硕士论文
年　份: 2009年
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内容摘要


近几十年来,随着数学研究本身的发展和大型计算机的出现及完善,各种非线性问题日益引起科学家和工程技术人员的兴趣和重视,目前国内外对非线性科学的研究正处于蓬勃发展阶段,非线性数值分析的理论与方法正发挥着越来越重要的作用,求解非线性数学,物理问题(包括常微,偏微边值问题,积分方程,微分方程等)、非线性力学,非线性优化,数值经济学等问题,又是非线性科学中最基本的问题,而上述问题最终都归结为求解非线性方程。因此研究方程的求解方法有着十分重要的意义。在创立微积分的十七世纪,Newton和Halley分别发明了现在普遍以他们的名字命名的迭代法,现阶段也有许多专家学者致力于寻求求解非线性方程迭代法的研究。本文讨论求解非线性方程的加速算法。在工程应用和科学计算中,常常会把问题简化、归纳得到一个给出数值结果的数学表达式,这个数学表达式常表示为方程。求解方程f ( x ) =0的根是应用数学中一个重要的问题。数值分析中在求解非线性方程的单根的各数值解法的基础是简单迭代法,它通过某个迭代式反复校正根的近似值,使之逐步精确化直到满足预订的精确值为止。但是数值分析中求解非线性方程的方法(对分法、线性插值法、牛顿法等)都有各自的缺点。因此需要设计有效的加速算法,使之能够更好的解决生活中和科学中的问题。全文共分五部分。第一部分主要介绍有关求解非线性方程的研究背景及意义和国内外的研究现状,指出了求解非线性方程是当今科学工作者研究的热点。第二部分介绍一些预备知识,包括相关的定义及定理。第三部分讨论用建立在幂平均基础上的牛顿法求解方程的多重根的收敛性问题,证明了用此方法求解方程重根是线性收敛的,并且若知道了根的重数,可改进其迭代公式使其二阶收敛,同时该文结论部分说明了用幂平均牛顿法求解方程的多重根时,幂指数越小,收敛速度越快。第四部分提出了一个求解非线性方程的一般加速模式.在迭代式中引入一元函数H (T ),当H (T )满足一定条件时,可在任意一个P(p大于等于3)阶收敛的迭代式的基础上再增加一步使其加速生成P+3阶收敛的迭代法.新的迭代法不仅提高了收敛的阶和效率指数,且包含了若干最近提出的非线性方程的迭代算法为特例.数值实例说明了新方法的有效性.第五部分是小结内容,总结前面所提到的求解非线性方程的迭代解法及在研究过程中一些思考,同时也指出了在以后的研究过程中所要注意的问题和研究的方向。

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中图分类: > 数理科学和化学 > 数学 > 计算数学 > 数值分析 > 非线性代数方程和超越方程的数值解法
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