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M（？）bius变换和圆锥曲线

作　者: 周鑫森
导　师: 王宏玉
学　校: 扬州大学
专　业: 微分几何
关键词: 圆锥曲线不动点相似变换椭圆双曲空间自同构传递性质当且仅当几何性质共轭类
分类号: O186.1
类　型: 硕士论文
年　份: 2008年
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内容摘要

本文主要讨论了黎曼球面Σ和双曲空间H 2上M?bius变换的一些性质和应用.我们称形如的变换T为Σ上的Mobius变换.Σ上的M?bius变换在复合的意义下形成一个群Aut (Σ),而其中形如的变换T在复合意义下构成的群Aut (Σ)(Aut (Σ)的二阶正规子群)是Σ的自同构,从而我们主要关心的是其群理论,比如Aut (Σ)的有限子群等,并且引入交比λ用来研究Aut (Σ)中映射的传递性质;我们也考虑了Mobius变换的一些几何性质(尤其是它们作用在Σ中的圆上的一些性质).双曲几何产生于19世纪上半叶,是人们尝试理解欧几里德几何公理化体系时形成的一种非欧几何.我们借助上半平面模型( H 2 = { x + iy : y>0})双曲空间H2中的Mobius变换,给出了H 2中的保向M?bius变换的刻画,考虑了它们的几何分类问题.我们都知道Σ中的Mobius变换将Σ中的圆仍然映射到圆.很自然的,我们会考虑将圆改为圆锥曲线时是否也有类似的结果.我们证明了C中中心在原点的椭圆在映射T ( z ) = 1/z_下的象不是椭圆.最后我们得到一个结论:如果两个非退化的圆锥曲线ε,ε’ M?bius等价,即存在M?bius变换T使得T(ε) =ε’,那么T是相似变换,从而在T的作用下他们的离心率保持不变.

全文目录

中文摘要  3-4
英文摘要  4-6
1 Σ上的 M(o|¨)bius 变换  6-18
  1.1 黎曼球面Σ的自同构  6-7
  1.2 PGL (2, C ) 的生成元  7-8
  1.3 Σ中的圆  8-9
  1.4 传递性和交比  9-11
  1.5 交比和圆  11-12
  1.6 反演变换  12-14
  1.7 圆和圆盘的稳定化子  14-15
  1.8 PG L(2, C ) 中的共轭类  15-17
  1.9 M(o|¨)bius变换的几何分类  17-18
2 H~2 上的 M(o|¨)bius 变换  18-25
  2.1 知识准备  18-19
  2.2 H~2 空间  19-20
  2.3 H~2 上的 M(o|¨)bius 变换  20-23
  2.4 H~2 上的 M(o|¨)bius 变换的几何分类  23-25
3 圆锥曲线  25-33
  3.1 预备知识回顾  26
  3.2 中心反演  26-28
  3.3 相交性质  28-29
  3.4 主要结果  29-31
  3.5 其他圆锥曲线  31-33
参考文献  33-34
致谢  34-35

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