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Stokes外问题的区域分解法

作　者: 王冲冲
导　师: 郑权
学　校: 北方工业大学
专　业: 应用数学
关键词: 无界区域Stokes问题非重叠区域分解算法自然边界归化 Uzawa算法收敛性
分类号: O241.82
类　型: 硕士论文
年　份: 2009年
下　载: 32次
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内容摘要

Stokes问题是计算流体动力学中的经典问题,是从流体力学的研究中提出的一类偏微分方程组的边值问题,在化学工程,环境工程,选矿,注浆等领域有着广泛应用。研究Stokes问题能够解决小Reynolds系数下粘性不可压缩均质流体的定常问题,还为处理更复杂的Navier-Stokes问题奠定基础,故研究Stokes问题对流体力学的发展有重大的意义。由于Stokes问题本身的复杂性,以及存在复杂的边界条件等问题,使得在此情况下求出Stokes问题的解析解变得非常困难,因此工程上大多利用计算机研究其数值解。区域分解算法兴起于二十世纪八十年代,是一种高效的求解偏微分方程数值方法。该算法把计算区域分解成若干子区域,把原问题化为各子区域上简单问题分别求解,并通过迭代得到整体近似解。区域分解算法对有界区域的Stokes问题非常有效,但对无界区域Stokes问题,区域分解算法有本质的困难,而自然边界归化是求解无界区域问题的强有力手段,于是本文用基于自然边界归化的区域分解算法来数值求解无界区域的Stokes问题,此算法具有自然边界归化的优点和区域分解算法的灵活性和优越性。Stokes问题离散化后会形成鞍点问题,Uzawa型算法是求解鞍点问题的高效迭代算法,尤其适用于大型稀疏矩阵的计算。对区域分解算法,本文研究了无界区域Stokes方程外问题的非重叠型区域分解算法,给出了连续和离散情形的D-N交替算法及其收敛性分析,得到了算法收敛的充要条件及充分条件,并得到最优的松弛因子和压缩因子,最后给出数值算例予以验证。对Uzawa型算法,本文得到了预处理Uzawa算法收敛的充要条件,并得到充分条件及误差传播矩阵的谱半径。完整地证明了不精确Uzawa算法收敛的充要条件。在新的范数意义下推出非线性不精确Uzawa算法收敛的一个较弱的充分条件并得到较好的收敛速度估计。最后应用Uzawa型算法来解决离散化的Stokes边值问题,验证理论的正确性。

全文目录

摘要  4-5
Abstract  5-9
1 引言  9-17
  1.1 Stokes问题  9-11
  1.2 区域分解算法  11-16
  1.3 鞍点问题的Uzawa型算法  16-17
2 预备知识  17-24
  2.1 Sobolev空间  17-18
  2.2 有限元方法  18-19
  2.3 自然边界归化方法  19-21
  2.4 区域分解算法  21-24
3 无界区域Stokes问题非重叠型区域分解算法及其收敛性  24-40
  3.1 引言  24
  3.2 连续D-N交替算法及其收敛性  24-30
  3.3 离散D-N交替算法及其收敛性  30-33
  3.4 Stokes问题的Mini元离散  33-36
  3.5 数值例子  36-39
  3.6 小结  39-40
4 Uzawa型算法的收敛性分析及其Stokes问题求解  40-50
  4.1 引言  40
  4.2 预处理Uzawa算法及其收敛性  40-42
  4.3 不精确Uzawa算法及其收敛性  42-44
  4.4 非线性不精确Uzawa算法收敛性分析  44-46
  4.5 数值例子  46-49
  4.6 小结  49-50
结论  50-51
参考文献  51-54
在学研究成果  54-55
致谢  55

Stokes外问题的区域分解法

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