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积分方程方法在声学散射与反散射问题中的某些应用

作　者: 祁一夫
导　师: 张德悦
学　校: 吉林大学
专　业: 计算数学
关键词: Helmholtz方程积分方程 Nystr(o ¨)m法配置法 Galerkin法线性探测法
分类号: O241.82
类　型: 硕士论文
年　份: 2011年
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内容摘要

散射问题是二十世纪以来发展迅速的一门学科，在工业，医学，航空航天，地球探测，军事等多个领域部有重要应用本文主要介绍了求解二维声学障碍散射正反问题的积分方程方法二维声软障碍散射问题可描述为如下的Dirichlet外问题定义1(Dirichlet外问题)．给定(?)D上的连续函数f，求Helmholtz方程的辐射解，且满足边界条件利用单双层位势的线性组合作解的近似，由跳跃关系可得边界积分方程其中s和K分别为单层算子和双层算子求此方程的解(?)，则远程模态为假设边界曲线(?)D具有正则的，以2π为周期的参数表示且对所有的f均有则可得参数化的边界积分方程其中积分核x(t，r)在t=r处有对数奇异性为了解决奇异性，将K分解为选取等距节点2n—l，利用求积公式其中以及梯形公式对积分直接进行近似即可得Nystr6m法设X，Y为Baaaach空间，T：X_-y为有界一对一算子xn C X和yn Cy为n维子空间，为射影算子对于给定的y∈Y，求解算子方程Tx—Y的射影法就是求解方程取射影算子为插值算子，即可得配置法：设X为Banach空间，Y—C[a，b]，选取配置点a—t1<…<tn—b，给定n维子空间xn C X则配置法为求解配置方程取射影算子为正交射影算子，即可得到Galerkin法：设X和y均为内积空间，分别为它们的n维子空间则射影法为求解我们使用上面的三种方法进行了数值实验，求解了远场模态，得到了预期的效果声学障碍散射反问题可如下描述定义2．已知远场数据确定散射体D的支集的问题，被称为反散射问题求解反射问题的一种重望方法就是线性探测法定义远场方程为其中定义远场算子为定义以g(Y0)为核的Herglotz波函数为定理1．设D为单连通区域，k2不是Dirichlet特征值或Neumann特征值，Helmholtz方程的辐射解（?）在OD上满足Dirichlet，Neumann或阻抗边界条件中的一种则对每一个和点都存在函数满知且若是以为核的Herglotz波函数，则有上面的定理说明，当Yo∈D趋于x∈D时无界，利用这点性质，便可以确定出散射体D的支集但此定理只给出了Y0∈D的情况，当Y0《D时，有如下定理定理2．假设(?)D是Lipschitz的，且k2不是一A在D中的Dirichlet特征值那么，若F是满足Dirichlet边界条件的散射问题所对应的远场算子，则有(1)如果Y0∈D，那么对任意的∈>0都存在不等式的解使得其中为以为核的Herglotz波函数(2)如果那么对任意的∈>0和d>0都存在不等的解使得其中为核的Herglotz波函数定理3．假设(?)D是Lipschitz的，且有Lipschitz分划其中r，≠O，且（？）>0那么，若F是混合边值问题所对应的远场算子，即满足混和边界条则有(1)如果Y0∈D，那么对任意的∈>0都存在不等式的解使得其中为以为核的Herglotz波函数(2)如果那么对任意的∈>0和d>0都存在不等式的解使得其中为以为核的Herglotz波函数定义算子把边界数据映为远场模态，可以证明用正则化方法求解远场方程与用正则化方法求解在本质上是相同的定理4．假设不存在Herglotz波函数是D中一△的Dirichlet特征值所对应的特征向量，紧算子F为单射的正规算子，其奇异系统为且满足其中且令q为算子F的正则化滤子，定义F的正则化方法为则由定义的为算子G的正则化方法对于线性探测法，有如下推论推论5．设为正数序列，且如定理4中定义，令则有(1)如果Y0∈D，当时，在变大且对于∈>o存在n0∈N使得其中常数C依赖于D，∈和Yn(2)如果Y0《D，当利用因子分解法进行了数值实验，得到了较好的重构效果

全文目录

摘要  4-9
Abstract  9-16
第一章绪论  16-18
第二章散射理论简介  18-24
  2.1 Helmholtz方程  18-21
  2.2 位势理论  21-24
第三章解正散射问题的积分方程方法  24-36
  3.1 问题描述  24-25
  3.2 积分方程方法  25-26
  3.3 积分方程数值解法  26-31
    3.3.1 Nystr(o|¨)m法  28-29
    3.3.2 配置法和Galerkin法  29-31
  3.4数值试验  31-36
第四章解反散射问题的线性探测法  36-51
  4.1 反散射问题描述  36-37
  4.2 线性探测法  37-49
    4.2.1 线性探测法基本思想  37-39
    4.2.2 线性探测法数学证明  39-46
    4.2.3 声软障碍情况下的收敛性  46-49
  4.3 数值试验  49-51
第五章总结  51-52
参考文献  52-54
个人简历  54-55
致谢  55

积分方程方法在声学散射与反散射问题中的某些应用

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