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基于滤子函数的正则化方法的研究

作　者: 刘且根
导　师: 周国标
学　校: 上海交通大学
专　业: 计算数学
关键词: 不适定性正则化滤子函数宏观解释饱和效应图象复原
分类号: O177
类　型: 硕士论文
年　份: 2009年
下　载: 44次
引　用: 1次
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内容摘要

自20世纪60年代以来,在地球物理、生命科学、材料科学、模式识别、信号(图象)处理、工业控制乃至经济决策等众多的科学技术领域中都提出了“由效果、表现、输出反求原因、原象、输入”的问题,统称数学物理反问题,求解反问题面临的一个本质性的困难是不适定性,主要是解的不稳定性,即方程的解(如果存在)不连续依赖于右端的数据,当右端的数据有误差时,其解与真解之间会产生很大的误差。求解不适定问题的普遍方法之一是正则化方法,如何建立有效的正则化方法及其算法是反问题研究的重要内容。在正则化方法中,最著名的有前苏联院士Tikhonov提出的Tikhonov正则化方法,另外还有Morozov的滤子函数法以及上世纪50年代Landweber和Fridman等人提出的Landweber迭代正则化等,本文基于Morozov的滤子函数法研究思路,主要作了以下工作:(1)以正规化方程为纽带,在滤子函数与最小化泛函之间建立了紧密联系,如的滤子函数为2小化泛函为,据此,本文对U.Tautenhahn([5,6])提出的正则化滤子函数和李功胜([10,12])的正则化滤子函数分别给出了其相应的泛函形式为:,并给出了其宏观解释:I)在Y空间取了特殊的范数,即II)Jα, r( x)分别对X ,Y空间都进行了“取幂”变换,即x→xr,y→yr(2)以滤子函数为出发点,对U.Tautenhahn([5,6])和李功胜([10,12])提出的正则化滤子函数进行推广,给出了参数更多,范围更广的正则化滤子函数,相应的泛函形式为: ,并且选取? ( x ) = x1s对迭代Lavrentiev正则化方法进行改进,应用于图象复原,取得了更好的复原效果;( 3 )对李功胜([10,12])提出的正则化滤子函数所对应的正则化方法进行了关于正则解的最优渐近收敛率问题研究,得出了以下定理:Th设T :X→Y是一对一的线性紧算子,且值域T ( X )是无穷维的,令x∈X并假设存在连续函数α=α(δ):[0,∞)→[0,∞)满足α(0) = 0,使得对满足的yδ成立

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摘要  4-6
ABSTRACT  6-9
引言  9-10
第一章：不适定问题的概念及研究现状  10-19
  1.1 不适定问题的概念  10-15
  1.2 不适定问题正则化的研究现状  15
  1.3 本文所做的一些工作  15-19
第二章：不适定问题正则化的一般理论  19-28
  2.1 广义算子逆  19-20
  2.2 紧算子奇异值分解  20-23
  2.3 正则化算法  23-24
  2.4 正则化子及常见的正则化方法  24-28
第三章：推广的正则化滤子函数方法  28-44
  3.1 对一些正则化滤子函数的宏观解释  28-36
  3.2 推广的正则化滤子函数方法  36-44
第四章：正则化方法的饱和效应分析  44-47
  4.1 正则化的饱和效应现象  44-45
  4.2 对李功胜提出正则化方法饱和效应的证明  45-47
参考文献  47-50
致谢  50

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