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关于一个五阶浅水波方程的适定性

作 者: 刘泽平
导 师: 谌稳固
学 校: 中国工程物理研究院
专 业: 基础数学
关键词: 色散方程 局部适定性 不适定性 Bourgain空间 傅里叶限制模方法 [k Z]乘子
分类号: O175
类 型: 硕士论文
年 份: 2011年
下 载: 9次
引 用: 0次
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内容摘要


众所周知,随着非线性科学的发展,出现了大量非线性发展方程,在不同的物理背景下起着重要的作用,浅水波方程是偏微分方程中一类很重要的方程,其形式虽然简单,但包含很多有价值的性质。一直以来,不同领域的学者对它进行着广泛的研究。对于适定性的研究尤为重要,适定性问题来自于哈达玛所给出的定义,他认为物理现象中的数学模型应该具备下述性质:1、存在着解;2、解是唯一的;3、解连续地取决于初值。如果某一个问题是适定的,它就有机会在使用了稳定算法的电脑上求得解。如果问题是不适定的,就需要为数值处理重新以公式表示。在这样的要求之下,关于五阶浅水波方程的解的存在性和稳定性已有了一些结果,其中由田立新教授等人在文[28]中引入的带有特殊非线性项的五阶浅水波方程,帮助我们理解非线性色散和非线性对流在波传导中的作用和影响,他们建立了初值在Hs中s≥-11/16的柯西问题的局部适定性,本论文主要致力于研究这个五阶浅水波方程的低正则性。在第一章介绍Bourgain空间技术、Tao的[K;Z]-乘子方法等现代调和分析技术研究色散方程的基本理论,其中包括Bourgain空间的定义及它的一些基本性质和[K;Z]-乘子的定义和性质。在第二章中应用Tao的[K;Z]-乘子方法得到一个新的双线性估计,结合Bourgain空间技术,就可以在Hs中将局部适定性结果由s≥-11/16改进至s>-5/4;接下来利用Bejenaru和Tao在文[2]中关于处理不适定性的普遍原理得到在s<-5/4的不适定性结论。为了将局部适定性结果推广至端点s=-5/4情形,从而得到sharp的局部适定性结果。在第三章中使用新型的Bourgain空间户s空间,在这种基于Littlewood-Paley分解的新型的Bourgain空间Fs空间中,得到了理想的双线性估计,通过标准的不动点定理建立了端点情形的局部适定性结果.

全文目录


摘要  5-6
Abstract  6-8
目录  8-9
第一章 色散方程适定性研究方法介绍  9-15
  1.1 适定性和Bourgain空间定义  9-10
  1.2 Bourgain空间中的多线性估计  10-11
  1.3 [K;Z]-乘子定义与性质  11-15
第二章 五阶浅水波方程柯西问题的局部适定性不适定性  15-27
  2.1 引言  15-16
  2.2 方程(2.2)的线性估计和双线性估计  16-17
  2.3 Kawahara方程二进块上的基本估计  17-19
  2.4 命题2.4的证明  19-24
  2.5 方程(2.2)的不适定性  24-27
第三章 五阶浅水波方程柯西问题的sharp型局部适定性  27-43
  3.1 引言  27-29
  3.2 在H~(-5/4)的局部适定性  29-43
参考文献  43-46
攻读硕士学位期间发表论文  46-47
致谢  47

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中图分类: > 数理科学和化学 > 数学 > 数学分析 > 微分方程、积分方程
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