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20世纪60年代以来,凸优化理论在经济学、变分学、力学、以及其它科学领域都有着广泛的应用.在本论文中,我们将主要研究凸优化问题解集的稳定性分析及其应用.本文内容具体安排如下：第一章,我们简要回顾了该领域的研究工作,并对本文的工作做了简要概述,此外还介绍了本文用到的一些基本概念和引理.第二章,我们主要研究了自反Banach空间中凸标量优化问题解集的稳定性,在目标映射和约束集同时扰动的情况下,我们获得了凸标量优化问题解集在非空有界方面的一些稳定性结论.本章的主要结论如下：定理2.2.1设(Z1,d1),(Z2,d2)是两个度量空间,u0∈Z1,v0∈Z2为任意给定的点.设LZ1→2X为取非空闭凸值的连续集值映射,满足int(barr(L(u0)))≠(?).假设存在(u0,v0)的一邻域U×V和M=∪u∈U L(u),(?)f：M×V→2X*是非空的下半连续集值映射,其中(?)f(·,v)表示f(·,v)的次微分.对任意v∈V,fv(x)关于x在M上是真凸下半连续泛函,若对任意d∈(L(u0))∞＼{0}满足fv0∞(d)>0,则存在(u0,v0)的邻域V′×V′,V′×V′(?)U×V,使得任意(u,v)∈U′×V′,对任意d∈(L(u))∞＼{0},满足fv∞(d)>0.定理2.2.2设(Z1,d1),(Z2,d2)为度量空间,u0∈Z1,v0∈Z2为任意给定的点.L：Z1→2X为取非空闭凸值的连续集值映射,满足int(barr(L(u0)))≠(?).假设存在(u0,v0)的一邻域U×V和M=∪u∈U L(u),使得(?)f：M×V→2X*是非空的下半连续集值映射,其中(?)f(·,v)表示f(·,v)的次微分.f：M×V→R是强连续真凸泛函,若S(u0,v0)非空有界,则：(i)存在(u0,v0)的一个邻域U′×V′,U′×V′(?)U×V,使得对任意(u,v)∈U′×V′,S(u，v)非空有界.(ⅱ)ω—lim sup(u,v)→(u0,v0)S(u,v)(?) S(u0,v0).第三章,我们主要利用凸优化问题解集稳定性的相关结论来研究自反Banach空间中混合变分不等式解集的稳定性.在映射和集合同时扰动的情况下,我们获得了混合变分不等式解集的一些稳定性结论.在这个过程中,我们还得到了一些关于混合变分不等式解集非空性和有界性的等价条件.本章的主要结论如下：定理3.2.3设(Z1,d1),(Z2,d2)是两个度量空间,u0∈Z1,v0∈Z2.设L：Z1→2X是一个非空闭凸值的连续集值映射,并且int(barr(L(uo)))≠(?).假设(u0,v0)存在一邻域U×V,令M=∪u∈U L(u),F：M×V→2X*是一个有非空解集的下半连续集值映射.次微分(?)(?)在M上取非空解集的下半连续集值映射,如果对(?)d∈(L(u0))∞＼{0},存在y0*∈F(L(u0),v0)满足〈y0*,d〉+(?)∞(d)>0,那么(u0,v0)存在一邻域U′×V′,其中U′×V′(?)U×V,对(?)(u,v)∈U′×V′,(?)d∈(L(u)∞＼{0},存在y*∈F(L(u),v)满足(y*,d)+(?)∞(d)>0.定理3.2.4设(Z1,d1),(Z2,d2)是两个度量空间,u0∈Z1,v0∈Z2.设L：Z1→2X是一个有非空闭凸值的连续集值映射,并且int(barr(L(u0)))≠(?).假设(u0,v0)存在一邻域U×V,令M=∪u∈UL(u),F：M×V→2Z*是下半连续且取非空紧凸值的集值映射,(?)在M上是强连续真凸函数,次微分(?)(?)是M上取非空解集的下半连续集值映射,假如(i)F：M×V→2X*是弱上半连续集值映射且对(?)v∈V,F(x,v)在M上伪单调.(ii)GMV I(F(·,v0),L(u0))的解集非空有界.那么(i)(u0,v0)存在一邻域U′×V′,其中U′×V′c U×V,对任意(u,v)∈U′×V′,GMVI(F(·,v),L(u))的解集非空有界.(ii)ω—lim sup(u,v)→(u0,v0)S(u,v)c S(u0,v0),其中S(u,v)是GMV I(F(·,u),L(u))的解集,S(u0,v0)是GMVI(F(·,v0),L(u0))的解集.第四章,我们研究了在自反Banach空间中凸向量优化问题解集稳定性,即在目标函数和约束集同时扰动的情况下,弱有效解集在非空有界意义下的稳定性分析.此外我们还把这些结果应用到实自反Banach空间中向量变分不等式的研究.本章的主要结论如下：定理4.2.1若以下条件成立：(i)(?)fi：X×Z2→2X*(i=1,2,…,p)为取非空紧凸值的下半连续集值映射.(ii)L：Z1→2x为取非空闭凸值的连续集值映射.(iii)对任意v∈Z2,fi(·,v)(i=1,2,…,p)在X上真凸下半连续,并且存在x∈X使得x∈∩i=1p int(domfi(·,v)).(iv)存在(u0,v0)∈Z1×Z2使得Sw(u0,v0)非空有界.则存在(u0,v0)的邻域U×V使得Sw(u,v)在U×V上非空.定理4.2.2若以下条件成立：(i)(?)fi:X×Z2→2X*(i=1,2,…,p)为取非空紧凸值的下半连续集值映射.(ii)L：Z1→2X为取非空闭凸值的连续集值映射.(iii)对任意v∈Z2,fi(·,v)(i=1,2….,p)在X上真凸下半连续,并且存在x∈X使得x∈∩i=1p int(domfi(·,v)).(iv)存在(u0,v0)∈Z1×Z2使得Sw(u0,v0)非空有界,Si(uo,v0)(i=1,2,…,p)非空,且Sw(u,v)=∪i=1p Si(u,v),(?)(u,v)∈Z1×Z2.则存在(u0,v0)的邻域U×V使得Sw(u,v)在U×V上非空有界.
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