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边界元法中高阶单元奇异积分的一个新正则化算法及其应用研究

作　者: 胡宗军
导　师: 牛忠荣
学　校: 合肥工业大学
专　业: 工程力学
关键词: 边界元法高阶单元几乎奇异积分半解析算法位势弹性力学三维问题薄体和层合结构
分类号: O343
类　型: 博士论文
年　份: 2012年
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内容摘要

本文综述了边界元法中几乎奇异积分问题的国内外研究现状,目前边界元法关于线性单元几乎奇异积分问题算法较为成熟,但对高阶单元尤其是三维高阶单元几乎奇异积分计算缺乏一种通行、高效的解决方法,这妨碍了边界元法的工程应用。文中首先对边界元法线性单元几乎奇异积分正则化算法思想作了简要回顾和总结,并将其应用于三维声场边界元分析。在此基础上对边界元法高阶单元几乎奇异积分进行系统研究,以二次单元为例,创立了一种计算高阶单元各类几乎奇异积分的半解析算法,包括弱、强和超几乎奇异积分。并且将本文建立的半解析算法应用于二维和三维位势及其薄体问题、二维弹性力学及其层合结构边界元法分析。全文主要创新点概括如下：1.拓展了线性单元几乎奇异积分正则化算法在三维声场边界元分析中的应用。将三维声场基本解函数进行Taylor级数展开,分离出奇异积分和非奇异积分两个部分。采用线性单元正则化算法计算其中的奇异积分部分,从而解决了三维声场边界元法分析中的几乎奇异积分难题。声场问题算例表明,本文算法计算精度较常规边界元法显著提高,可以为基于近边界点声学参量准确计算为基础的各类声学分析提供重要的参考依据。本文基于基本解函数Taylor级数展开的正则化算法思想,也为基本解为非多项式形式的边界元几乎奇异积分正则化提供了解决思路,拓宽了线性单元正则化算法的应用领域。2.创立了二维位势问题边界元法高阶单元几乎奇异积分的一个新的正则化算法。本文分析了边界积分方程高阶单元中几乎奇异积分的原因,不失一般性,以二维问题3节点二次单元为例剖析了二次单元的几何特征,定义了源点到高阶曲线单元的接近度概念,分离出二维位势积分方程积分式中近似核函数。对积分核应用扣除法(Subtraction)技巧,通过扣除与积分核具有同样奇异性的近似积分核来消除几乎奇异性,建立了一个新的半解析算法,成功地计算出接近度为10-14的几乎强奇异积分和接近度为10-7的几乎超奇异积分。该算法应用于二维位势和薄体问题分析,结果表明本文算法可以计算距离边界非常近的内点位势和位势导数,并具有很高的计算精度。3.针对3节点二次曲线单元,将二维位势问题的半解析正则化算法思想应用于二维弹性力学边界元分析,通过局部坐标变换,分离出二维弹性力学积分方程积分项中的近似奇异核函数,再采用扣除法消除了几乎强奇异和几乎超奇异性并推导出几乎奇异积分部分的解析计算公式,建立了弹性力学边界元法几乎强奇异和几乎超奇异积分的半解析算法。本文将半解析算法同多域边界元法联合应用,成功地求解了弹性力学薄体和层合结构的近边界内点位移和应力,算例结果表明边界元法高阶单元比线性单元以及有限元法更具有优势。4.创立了三维位势问题边界元法高阶单元几乎奇异积分的半解析正则化算法。以8节点四边形二次曲面单元为例,分别在整体坐标系、局部直角坐标系和局部极坐标系下剖析单元的几何特征,提出了源点到高阶曲面单元的接近度概念。分离出三维位势问题基本解中几乎奇异积分核函数的近似函数,然后通过坐标变换使其近似函数面积分中的两个积分变量分离,从而可以依次单独计算积分。以此为基础,对积分核应用扣除法技巧,把几乎奇异面积分转化为非奇异积分和奇异积分两项之和,其中非奇异积分项用常规Gauss数值积分计算,而奇异积分项在局部极坐标系下推导出对极变量积分的解析计算公式,对角变量积分用常规Gauss数值积分计算。本文半解析算法应用于三维位势问题及其薄体问题边界元分析,成功地计算出其中的几乎强奇异和几乎超奇异积分。本文半解析算法技术同样适用于其他高阶边界单元几乎奇异积分的计算,从而一般性地解决了二维和三维边界元法中高阶单元几乎强奇异和几乎超奇异积分的计算难题。该方法被成功应用于边界元法位势问题和弹性力学问题分析,使得边界元法在二维和三维薄域(薄体)问题计算方面比有限元法更具有优势。

全文目录

摘要  7-9
ABSTRACT  9-12
致谢  12-19
第一章绪论  19-32
  1.1 引言  19-20
  1.2 工程中的数值方法  20-22
  1.3 边界元法发展历史及其在声学分析中的应用  22-26
    1.3.1 边界元法发展历史  22-25
    1.3.2 边界元法在声学分析中的应用  25-26
  1.4 本文工作背景、边界元法几乎奇异积分问题及其研究现状  26-30
  1.5 本文研究的目的、意义和内容  30-32
第二章边界元法线性单元几乎奇异积分正则化算法及其在三维声场中应用  32-51
  2.1 引言  32
  2.2 边界元法中几乎奇异积分问题  32-35
  2.3 线性单元几乎奇异积分的正则化  35-43
    2.3.1 二维问题线性单元几乎奇异积分的正则化  35-38
    2.3.2 三维问题线性单元几乎奇异积分的正则化  38-43
  2.4 三维声场边界元法  43-47
    2.4.1 三维声场常规边界积分方程  43-45
    2.4.2 三维声场边界积分方程几乎奇异积分的正则化  45-47
  2.5 数值算例  47-50
  2.6 本章小结  50-51
第三章二维位势边界元法高阶单元几乎奇异积分半解析算法及其在薄体问题中应用  51-74
  3.1 引言  51
  3.2 二维问题边界元法二次单元几何特征  51-55
  3.3 二维位势边界元法  55-64
    3.3.1 二维位势常规边界积分方程  55-56
    3.3.2 二维位势边界积分方程二次单元Ⅰ型几乎奇异积分的半解析算法  56-61
    3.3.3 二维位势边界积分方程二次单元Ⅱ型几乎奇异积分的半解析算法  61-64
  3.4 数值算例  64-73
  3.5 本章小结  73-74
第四章二维弹性力学边界元法高阶单元几乎奇异积分半解析算法  74-94
  4.1 引言  74
  4.2 二维弹性力学常规边界积分方程及几乎奇异积分问题  74-77
  4.3 3节点二次单元Ⅰ型几乎奇异积分的分离技术  77-81
  4.4 二次单元Ⅰ型几乎奇异积分中奇异部分的解析计算  81-83
  4.5 数值算例  83-92
  4.6 本章小结  92-94
第五章高阶单元几乎奇异积分半解析算法在二维弹性力学薄体和层合结构中应用  94-109
  5.1 引言  94-95
  5.2 二维二次单元Ⅱ型几乎奇异积分单元几何特征和半解析算法  95-98
  5.3 几乎奇异积分半解析算法在二维弹性力学薄体问题中的应用  98-100
  5.4 层合结构多域边界元法分析  100-101
  5.5 数值算例  101-108
  5.6 本章小结  108-109
第六章三维位势边界元法高阶单元几乎奇异积分半解析算法及其在薄体问题中应用  109-139
  6.1 引言  109
  6.2 三维边界元法二次单元几何特征  109-122
    6.2.1 8节点四边形曲面等参数单元  110-111
    6.2.2 8节点四边形曲面单元Ⅰ型几乎奇异积分的几何参数  111-115
    6.2.3 8节点四边形曲面单元Ⅱ型几乎奇异积分的几何参数  115-116
    6.2.4 从oξη系到极坐标ρθ系下坐标变换及其几何量的表达  116-119
    6.2.5 从ox~1x~2x~3系到oξη系坐标变换的雅可比及其在ρθ系下表达  119-121
    6.2.6 8节点四边形曲面等参元的法向量  121-122
  6.3 三维位势边界元法  122-130
    6.3.1 三维位势常规边界积分方程  122-123
    6.3.2 8节点四边形二次单元Ⅰ型几乎奇异积分的半解析算法  123-129
    6.3.3 8节点四边形二次单元Ⅱ型几乎奇异积分的半解析算法  129-130
  6.4 数值算例  130-138
  6.5 本章小结  138-139
第七章总结与展望  139-142
  7.1 总结  139-141
  7.2 展望  141-142
参考文献  142-158
攻读博士学位期间参加的科研项目  158
攻读博士学位期间发表的学术论文  158

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