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辐射扩散方程的单调有限体积格式与Picard-Newton迭代格式

作　者: 岳晶岩
导　师: 袁光伟
学　校: 中国工程物理研究院
专　业: 计算数学
关键词: 扩散方程非平衡辐射扩散单调有限体积格式非线性迭代方法 Picard迭代基于LD的Picard-Newton迭代时间步长控制扭曲网格
分类号: O241.8
类　型: 博士论文
年　份: 2012年
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内容摘要

本文针对辐射扩散方程数值求解中温度出负和计算量大的问题,构造了单调有限体积格式Picard-Newton非线性迭代格式,保证了温度计算不出负,提高了非线性问题求解的迭代收敛速度。本文针对任意星形多边形网格上扩散方程的离散求解,对网格边的法向向量采用了一种新的系数非负的分解方式,使得在每一条网格边上的离散法向流能够兼顾网格几何变形和当前边上的物理量变化,从而构造了一类新的非线性单调(保正)有限体积格式。该格式给出了离散通量的显式表达式,只包含单元中心未知量,所得到的稀疏代数方程组有尽可能少的非零元,处理间断是严格的,适用于求解非均匀全扩散张量问题。并且,针对非平衡辐射扩散问题,构造了一种适用于扭曲四边形网格的保正格式,该格式不但可以兼顾网格的几何变形和物理量变化,同时具有模板相对固定的优点。数值结果表明新格式具有保正性,并且在高度扭曲的网格上,精度不低于一阶。针对高度非线性和强耦合的多介质非平衡辐射扩散问题,本文构造了Picard-Newton(P-N)和无导数的Picard-Newton(DFPN)非线性迭代格式,并针对Picard-Newton迭代格式考察了两种时间步长控制方法,给出了一阶时间积分的时间精度分析。新迭代格式的求解途径为：首先对限流辐射扩散问题进行Newton线性化,得到张量系数的对流扩散方程(文中证明了系数矩阵对称正定)；然后在扭曲四边形网格上构造了线性对流扩散方程的单元中心型离散格式。该方法的主要部分与Picard迭代方法一致,只比Picard方法多一些Newton修正项,便于程序实施。通过对Newton修正项采用不同的空间离散方式,得到了不同于标准Newton方法的新的迭代格式。数值结果表明Picard-Newton线性迭代格式是健壮、有效的,并且与Picard方法相比,Picard-Newton方法不需要引入更苛刻的时间步长限制。

全文目录

摘要  4-5
abstract  5-10
第一章引言  10-20
  §1 .1 研究背景  10-13
    §1.1.1 物理背景  10-11
    §1.1.2 离散格式  11-12
    §1.1.3 非线性迭代方法  12-13
  §1.2 单调有限体积格式国内外研究现状综述  13-15
  §1.3 非线性迭代方法国内外研究现状综述  15-18
  §1.4 本文的主要工作  18-19
    §1.4.1 单调有限体积格式研究  18
    §1.4.2 非线性迭代格式研究  18-19
  §1.5 本文的结构  19-20
第二章扭曲网格上扩散方程的单调有限体积格式  20-44
  §2.1 定常扩散问题的单调格式构造  21-29
    §2.1.1 问题与符号  21-22
    §2.1.2 格式的构造  22-26
    §2.1.3 特殊情况  26-29
  §2.2 单调性证明  29-30
  §2.3 抛物方程的单调格式  30-32
  §2.4 数值结果  32-43
    §2.4.1 各向异性椭圆问题  33-34
    §2.4.2 线性椭圆问题  34-38
    §2.4.3 具有间断系数的线性椭圆问题  38-39
    §2.4.4 标准测试问题  39-40
    §2.4.5 线性抛物问题  40-42
    §2.4.6 非线性抛物问题  42-43
  §2.5 结论  43-44
第三章扭曲四边形网格上非平衡辐射扩散方程的单调有限体积格式  44-64
  §3.1 问题的描述  44-45
  §3.2 记号  45-46
  §3.3 离散法向流  46-50
  §3.4 扩散系数的离散  50-52
  §3.5 有限体积格式  52
  §3.6 边界条件的离散  52-54
  §3.7 单调性证明  54-56
  §3.8 数值结果  56-61
    §3.8.1 不限流模型  58-59
    §3.8.2 限流模型  59-60
    §3.8.3 九点格式缩小时间步长的数值结果  60-61
  §3.9 结论  61-64
第四章扭曲四边形网格上非平衡辐射扩散方程的Picard-Newton迭代格式  64-88
  §4.1 基于LD途径的Picard-Newton方法简介  64-66
  §4.2 多介质非平衡限流辐射扩散模型的Picard-Newton迭代格式  66-78
    §4.2.1 时间离散的偏微分方程组的Newton线性化  66-68
    §4.2.2 线性化的偏微分方程组的空间离散格式  68-77
    §4.2.3 P-NC和P-NU迭代格式  77-78
  §4.3 Picard-Newton方法与Newton方法的区别  78-81
  §4.4 数值结果  81-87
  §4.5 结论  87-88
第五章非平衡辐射扩散方程Picard-Newton迭代格式的时间步长控制  88-100
  §5.1 问题的描述  88-89
  §5.2 时间步长控制  89-90
  §5.3 数值结果  90-99
    §5.3.1 强非线性问题  91-98
    §5.3.2 弱非线性问题  98-99
  §5.4 结论  99-100
第六章无导数的Picard-Newton迭代格式  100-114
  §6.1 DFPN的构造及与JFNK的区别  100-102
  §6.2 非平衡辐射扩散问题的DFPN方法  102-103
  §6.3 数值结果  103-112
    §6.3.1 算例1  103-105
    §6.3.2 算例2  105-108
    §6.3.3 与JFNK的比较  108-112
  §6.4 结论  112-114
第七章总结与展望  114-116
  §7.1 单调格式  114
  §7.2 非线性迭代格式  114-115
  §7.3 展望  115-116
参考文献  116-124
发表文章目录  124-126
致谢  126

辐射扩散方程的单调有限体积格式与Picard-Newton迭代格式

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