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非标准有限差分法和参数扰动法在微分方程上的应用

作　者: 张磊
导　师: 丁效华
学　校: 哈尔滨工业大学
专　业: 基础数学
关键词: 非标准有限差分法 参数扰动法 正性 有界性
分类号: O241.82
类　型: 博士论文
年　份: 2012年
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内容摘要


本文构造了用来求解几类偏微分方程的非标准有限差分格式，然后研究了所构造的离散格式的一些全局性质。并利用参数扰动方法求解了几类非线性常微分方程。通过数值实验，将两种方法所得到的数值解和其他文献中已有方法的结果进行了比较。首先应用非局部近似的方法对抛物型偏微分方程——FitzHugh-Nagumo方程进行了近似离散，从而得到了对应的非标准有限差分格式。我们证明了这个格式具有下面三个性质：一是FitzHugh-Nagumo方程对应的关于空间变量独立的方程的差分格式是基本稳定的；二是FitzHugh-Nagumo方程对应的定常方程的差分格式保持了能量守恒性；三是结合空间独立方程的非标准有限差分格式和稳态方程的非标准有限差分格式，得到了FitzHugh-Nagumo方程的非标准有限差分格式，并证明了当时间步长和空间步长满足一定的关系时，差分格式的解满足正性和有界性。接下来，利用Hopf-Cole变换将一维抛物型偏微分方程——拟线性Burgers方程线性化，从而得到了一个线性偏微分方程。然后利用非局部近似对所得到的线性偏微分方程进行近似离散，得到了它的非标准有限差分格式。进而，分析了此格式的相容性，稳定性以及收敛性，并说明了当时间步长和空间步长满足一定的关系时，差分格式的解是满足正性和有界性的。对一类双曲型偏微分方程——Telegraph方程，同样采用了非局部近似的方法构造它的非标准有限差分格式。并研究了格式的稳定性和相容性，还给出了差分格式的解正性条件和有界性条件。文章的最后一部分利用参数扰动方法近似计算几类常微分方程的解。我们分别将方法应用到捕食者食饵方程，Volterra方程和mKdv方程上，并将得到的数值解与精确解以及其他方法的数值解进行了比较，充分证明了此方法的有效性。

全文目录


摘要  4-5
Abstract  5-11
第1章 绪论  11-25
  1.1 非标准有限差分法  11-20
  1.2 参数扰动法  20-22
  1.3 本文的主要工作  22-25
第2章 非标准有限差分法在偏微分方程上的应用  25-78
  2.1 引言  25
  2.2 预备知识  25-31
  2.3 构造求解FitzHugh-Nagumo方程的非标准有限差分法  31-48
    2.3.1 关于空间变量独立的方程的非标准有限差分格式  32-34
    2.3.2 定常方程的非标准有限差分格式  34-36
    2.3.3 FitzHugh-Nagumo方程的非标准有限差分格式  36-37
    2.3.4 差分格式的正性和有界性分析  37-39
    2.3.5 数值实验  39-48
  2.4 构造求解拟线性Burgers方程的非标准有限差分法  48-64
    2.4.1 拟线性Burgers方程的线性化  49
    2.4.2 拟线性Burgers方程在Hopf-Cole变换下的精确解  49
    2.4.3 线性化后的Burgers方程的非标准有限差分格式  49-50
    2.4.4 差分格式的性质  50-51
    2.4.5 差分格式的收敛性和稳定性分析  51-54
    2.4.6 数值实验  54-64
  2.5 构造求解Telegraph方程的非标准有限差分格式  64-76
    2.5.1 Telegraph方程的非标准有限差分格式  65
    2.5.2 差分格式的正性和有界性分析  65-66
    2.5.3 差分格式的相容性及稳定性分析  66-69
    2.5.4 数值实验  69-76
  2.6 本章小结  76-78
第3章 参数扰动法求解常微分方程  78-90
  3.1 引言  78
  3.2 预备知识  78-79
  3.3 捕食者食饵方程  79-84
    3.3.1 用参数扰动法求解捕食者食饵方程  79-81
    3.3.2 数值实验  81-84
  3.4 微分差分方程  84-88
    3.4.1 一般形式的微分差分方程  85-86
    3.4.2 参数扰动法在Volterra方程上的应用  86
    3.4.3 参数扰动法在mKdv方程上的应用  86-87
    3.4.4 数值实验  87-88
  3.5 本章小结  88-90
结论  90-92
参考文献  92-103
攻读博士学位期间发表的论文及其他成果  103-105
致谢  105-106
个人简历  106

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中图分类: > 数理科学和化学 > 数学 > 计算数学 > 数值分析 > 微分方程、积分方程的数值解法 > 偏微分方程的数值解法
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