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具有离散和分布时滞的几类生物模型的分支问题研究

作　者: 王晶囡
导　师: 蒋卫华
学　校: 哈尔滨工业大学
专　业: 基础数学
关键词: 时滞微分方程稳定性 Hopf分支 Hopf-fold分支 Hopf-pitchfork分支
分类号: O175
类　型: 博士论文
年　份: 2013年
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内容摘要

离散时滞与分布时滞的微分方程被广泛地应用在生物系统当中，用于解释相应系统中具有的稳定性、周期振荡以及混沌等动力学行为。本文主要利用非线性动力学、泛函微分方程等相关理论和方法，研究离散时滞与分布时滞的非线性生物模型的动力学性质。分析了时滞项对非线性生物模型的一些动力学行为的影响，主要包括系统的稳定性、系统的持久性、局部Hopf分支、全局Hopf分支和两类余维二分支等方面的理论结果。并给出了从模型中得到的数学理论结果代表的生物学意义。首先，利用中心流形定理、Hassard规范型理论以及Faria和Magalhaes规范型理论，研究了一个具有休眠特征的离散时滞的捕食-被捕食模型的Hopf及Hopf-fold分支。分析了时滞对系统稳定性、持久性、周期解以及混沌的影响。给出了系统产生Hopf分支和Hopf-fold分支的条件，并从中得到了离散时滞的引入可以使系统产生稳定性切换和多周期轨共存等现象。推证出了带有原系统参数在Hopf-fold临界点附近的规范型及分支性质。利用Lyapunov-Razumikhin有界定理等相关知识证明了时滞系统的持久性质。通过数值模拟展示了周期解的稳定性和大范围存在等性质。其次，研究了具有休眠和脉冲扰动的捕食-被捕食模型的稳定性及分支问题。利用脉冲微分方程理论、小振幅扰动理论和比较原理得到了被捕食者灭绝的周期解的全局渐近稳定条件和系统处于持久状态的条件。利用数值模拟得到了随着脉冲扰动项的增加会导致周期解发生倍周期分支从而导致混沌的现象，分析描述了脉冲扰动项和孵化项对系统固有周期行为的影响。然后，利用规范型理论和拓扑度等相关理论研究了两个具有分布时滞的向日葵模型的局部Hopf分支和全局Hopf分支性质。利用儒歇定理和辐角原理讨论了呈对数生长的向日葵模型的稳定性及产生局部Hopf分支条件，给出了模型的周期解的近似表达形式。将呈对数生长的向日葵模型的Hopf分支性质与已有的呈线性生长的向日葵模型的Hopf分支性质进行了比较，揭示了周期解的周期变化和近似表达形式之间的差别。分别从理论和数值模拟上，揭示了呈线性生长的向日葵模型的周期解可以大范围存在的现象。最后，研究了一个带有离散及分布混合时滞的神经元系统的Hopf-pitchfork分支。通过对特征方程的分析，给出了时滞神经元系统发生余维二Hopf-pitchfork分支的条件。利用中心流形定理与Faria和Magalhaes规范型理论得到了系统在Hopf-pitchfork临界点附近的规范型和带有原系统参数的分支集，细化了分支图。从理论和数值模拟两个方面揭示了当时滞项和系数项在临界点附近扰动时，神经元系统会出现两个稳定平衡点共存以及两个稳定平衡点与一个稳定周期轨共存的现象。

全文目录

摘要  3-5
ABSTRACT  5-11
第1章绪论  11-17
  1.1 课题背景及意义  11-13
  1.2 研究方法与现状  13-15
  1.3 本文的主要工作  15-17
第2章具有休眠特征的离散时滞捕食-被捕食模型的Hopf及Hopf-fold分支  17-55
  2.1 模型背景  17-20
    2.1.1 模型来源及意义  17-18
    2.1.2 引入时滞的依据  18-20
  2.2 平衡点的存在性和局部渐近稳定性  20-26
    2.2.1 平衡点的存在性  20-21
    2.2.2 平衡点的局部渐近稳定性  21-26
  2.3 由时滞引起的Hopf分支  26-31
  2.4 时滞对持久性的影响  31-34
  2.5 由时滞引起的Hopf-fold分支  34-44
    2.5.1 带有原参数的规范型  34-43
    2.5.2 Hopf-fold分支开折分析  43-44
  2.6 数值模拟  44-54
    2.6.1 稳定性及Hopf分支  44-45
    2.6.2 时滞对混沌及周期轨的影响  45-49
    2.6.3 Hopf-fold分支  49-54
  2.7 本章小结  54-55
第3章具有休眠和脉冲扰动的捕食-被捕食模型的稳定性及分支  55-69
  3.1 脉冲模型的生物背景  55-56
  3.2 记号和定义  56-58
  3.3 稳定性和有界性  58-61
  3.4 持久性  61-64
  3.5 数值模拟及分支  64-68
  3.6 本章小结  68-69
第4章具有分布时滞的向日葵方程的全局Hopf分支  69-86
  4.1 分布时滞向日葵方程的生物背景  69-71
    4.1.1 呈线性生长的向日葵方程  71
    4.1.2 呈对数生长的向日葵方程  71
  4.2 向日葵方程的局部Hopf分支  71-79
    4.2.1 呈对数生长的向日葵方程的局部Hopf分支条件  72-75
    4.2.2 呈对数生长的向日葵方程的局部Hopf分支性质  75-79
    4.2.3 两个向日葵方程Hopf分支性质的比较  79
  4.3 呈线性生长的向日葵方程的全局Hopf分支  79-83
  4.4 数值模拟  83-85
  4.5 本章小结  85-86
第5章具有离散与分布混合时滞神经元系统的Hopf-pitchfork分支  86-105
  5.1 模型背景  86-88
  5.2 Hopf-pitchfork分支的存在性  88-90
  5.3 带有系统原参数的Hopf-pitchfork分支的规范型  90-95
  5.4 Hopf-pitchfork分支开折分析  95-99
  5.5 数值模拟  99-104
  5.6 本章小结  104-105
结论  105-107
参考文献  107-116
攻读博士学位期间发表的论文及其他成果  116-118
致谢  118-119
个人简历  119

具有离散和分布时滞的几类生物模型的分支问题研究

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