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双曲守恒律方程组光滑解的整体存在性和奇性分析

作　者: 魏昌华
导　师: 杨海涛；孔德兴
学　校: 浙江大学
专　业: 基础数学
关键词: 复守恒律生命跨度整体解线性退化真正非线性类时极值曲面 δ波
分类号: O175.27
类　型: 博士论文
年　份: 2014年
下　载: 3次
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内容摘要

本文主要针对一维和高维双曲守恒律方程组柯西问题光滑解的整体存在性和破裂现象进行了研究。第一章主要介绍问题的研究背景、意义以及研究现状。在此基础上给出了本文所得到的主要结果。在第二章,我们主要研究由P. D. Lax引入的一类复的守恒律。该复守恒律本质上是一类二维(含有两个空间变量)拟线性双曲系统。通过选择适当的流函数,该方程组是线性退化的,在这种情况下,得到了该系统小初值柯西问题光滑解的整体存在性和生命跨度下界的估计。对一大类流函数,该系统在某个方向上是真正非线性的,在这种情况下,得到该系统小初值柯西问题光滑解一定在有限的时间内产生奇性,并且我们对解的生命跨度给出了一个精确的估计。在第三章,我们针对一维线性退化双曲系统(Chaplygin gas方程)柯西问题解的奇性形成和传播进行了研究。根据初值的合理选择,我们得到了一类新的奇性(Delta-奇性),包括“点奇性”、“线奇性”和“尖点奇性”。通过特征线方法,我们发现这类奇性与激波的形成有很大的不同,Delta-奇性的形成机制是不同族的特征线在奇点处相切(严格双曲性失去)。除此之外,我们对解在奇点附近的破裂行为进行了分析。更进一步,根据解在奇点附近的破裂行为,在奇性产生后,我们构造了一类弱解(δ波),并且证明了它的存在唯一性。在第四章,我们主要研究数学物理中的一类重要的方程,de-Sitter时空类时极值曲面方程的柯西问题。利用广义能量方法,我们得到小初值条件下,光滑解生命跨度下界的估计。最后,在第五章,我们引入“完全线性退化”的概念,推广了经典“线性退化’’的概念,并且在“完全线性退化”的条件下,我们得到一个有趣的现象：对于含两个未知量的对称双曲守恒律方程组,“完全线性退化”等价于“线性”。

全文目录

摘要  4-6
Abstract  6-8
目录  8-10
插图  10-11
第一章绪论  11-23
  1.1 研究问题的意义、背景和现状  11-14
  1.2 基本知识  14-16
    1.2.1 基本定义  14-15
    1.2.2 基本不等式  15-16
  1.3 主要结果  16-23
    1.3.1 复守恒律  17-18
    1.3.2 Chaplygin gas方程  18-20
    1.3.3 极值曲面方程  20-21
    1.3.4 完全线性退化系统  21-23
第二章一类复守恒律光滑解的整体存在性和生命跨度  23-51
  2.1 引言  23
  2.2 预备知识  23-27
  2.3 系统(1.4)具有的某些性质  27-31
  2.4 重要估计  31-39
  2.5 主要定理的证明  39-51
第三章一维Chaplygin gas方程解的奇性形成与传播  51-87
  3.1 引言  51
  3.2 预备知识  51-53
  3.3 尖点奇性形成  53-62
  3.4 奇性估计  62-73
  3.5 奇性分析  73-81
  3.6 波解的存在唯一性  81-87
第四章 de Sitter时空类时极值曲面方程的生命跨度  87-123
  4.1 前言  87-88
  4.2 基本方程  88-91
  4.3 线性波方程的逐点衰减  91-100
  4.4 柯西问题(1.24),(1.26)解的整体存在性  100-106
  4.5 柯西问题(1.25)-(1.26)解的生命跨度  106-123
第五章完全线性退化的双曲守恒律  123-131
  5.1 完全线性退化  123
  5.2 重要性质  123-128
  5.3 一些例子  128-131
    5.3.1 气体动力学系统  128-129
    5.3.2 Minkowski时空的相对环面  129-131
参考文献  131-141
完成文章目录  141-142
简历  142-143
致谢  143

双曲守恒律方程组光滑解的整体存在性和奇性分析

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