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曲线曲面造型中的若干相关问题研究

作　者: 李彩云
导　师: 王仁宏; 朱春钢
学　校: 大连理工大学
专　业: 计算数学
关键词: 曲线曲面造型测地线极小曲面曲率线可展曲面异度隐函数样条拟插值
分类号: TP391.72
类　型: 博士论文
年　份: 2013年
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内容摘要

随着产品设计和生产自动化程度的不断提高,许多产品在制作前要进行曲线与曲面的几何造型设计,例如船体的放样与设计,汽车车壳设计,飞机机翼、机身及机舱的设计,甚至刀架、刀片,鞋模和服装的设计都归结于曲线曲面造型的研究,这也是目前计算机辅助几何设计(CAGD)研究的核心内容.曲线曲面造型经历了参数样条方法、Coons曲面、Bezier曲线曲面和B样条方法.另外,利用插值、拟合、逼近、拼接等方法研究满足某种性质的曲线曲面在实际应用中也是非常重要的.本文研究了以Bezier曲线为测地线的可展曲面拼接,插值测地线的极小曲面逼近,过曲率线的参数曲面及可展曲面的构造,还研究了异度隐函数样条曲线曲面并将其应用于参数曲线的分段近似隐式化,给出了一种多层的3次样条拟插值格式,构造了一种简单有效的数值积分公式.主要工作包括：1.测地线是曲面上一类很重要的曲线.例如,制鞋工业中把皮革看成可展曲面,鞋面上的足背线相当于曲面上的测地线,服装业则以腰线为测地线.而在实际应用中,一片这样的曲面往往是不够用的,所以要考虑曲面的拼接问题.本文研究了以空间Bezier曲线为测地线的可展曲面的拼接问题,并给出了拼接条件.重点研究了以3次Bezier曲线为测地线的可展曲面的拼接,给出了其控制顶点所满足的关系方程.2.极小曲面具有很多重要的性质,在建筑设计、飞机制造、生物学、分子化学等领域都有重要应用.另外,在产品设计中,我们不仅希望曲面插值某些特征线,比如测地线,还希望消耗更少的材料.基于这一点,本文把测地线和极小曲面相结合,研究了插值测地线的极小曲面逼近问题.3.曲率线是曲面上另外一类很重要的曲线.曲面上的曲线,如果它在所有点的切方向都是主方向,则称为曲率线.我们利用Frenet标架表示曲面,推导出了曲线为所构造曲面上曲率线的充要条件,并引入了两个控制函数θ(s),λ(s)来控制曲面的形状,根据θ(s)的表达式将充要条件进行分类,给出了曲线既是曲率线又是测地线的条件.4.可展曲面和曲率线在几何设计和曲面分析中起着很重要的作用.本文给出了插值曲率线的可展曲面的构造方法,并且给出了曲面的具体表达形式.分析了可展曲面分别是柱面、锥面、切线面时的充要条件,并利用控制函数θ(s)控制曲面的形状.5.在曲线曲面造型中,隐式曲线曲面的应用是非常广泛的.我们通过添加辅助曲线曲面,提出了异度隐函数样条曲线曲面的方法，并对其插值性、凸性以及正则性进行了详细分析.在此基础上提出了一种简单有效的参数曲线分段近似隐式化的方法.6.在数值逼近的理论和应用研究中,拟插值是非常重要的.径向基拟插值和3次样条拟插值是常用的拟插值格式.本文提出了一种多层的一元3次样条拟插值格式,与LD,LR以及3次样条拟插值进行比较,有很好的逼近效果,并把这种格式应用于数值积分,构造了一种简单且有效的数值积分公式.

全文目录

摘要  4-6
Abstract  6-11
1 绪论  11-19
  1.1 CAGD中曲线曲面的表示  11-12
  1.2 曲线曲面造型技术的研究现状与发展趋势  12-13
  1.3 曲面上两类重要的曲线：测地线和曲率线  13-15
    1.3.1 测地线  13-14
    1.3.2 曲率线  14-15
  1.4 可展曲面和极小曲面造型  15-18
    1.4.1 直纹面  15-16
    1.4.2 可展曲面  16-17
    1.4.3 极小曲面  17-18
  1.5 本文的主要工作  18-19
2 插值Bezier测地线的可展曲面拼接  19-35
  2.1 背景  19-20
  2.2 曲线曲面的基本知识  20-23
  2.3 过Bezier曲线的可展曲面  23-28
  2.4 过Bezier曲线的两片可展曲面的G~1拼接  28-32
  2.5 实例  32-34
  2.6 本章小结  34-35
3 插值测地线的近似极小曲面  35-47
  3.1 背景及基础知识  35-36
  3.2 插值一条测地线的近似极小曲面  36-42
  3.3 插值两条测地线的近似极小多项式曲面  42-45
  3.4 本章小结  45-47
4 过曲率线的参数曲面族  47-67
  4.1 已有工作  47-48
  4.2 基本知识  48-50
  4.3 过以弧长为参数的曲率线的曲面族  50-56
    4.3.1 尺度函数u(s,t),v(s,t),ω(s,t)为变量分离的函数  53-54
    4.3.2 尺度函数u(s,t),v(s,t),ω(s,t)为一般的函数  54-56
  4.4 过任意参数的曲率线的曲面族  56-58
  4.5 实例  58-66
  4.6 本章小结  66-67
5 过曲率线的可展曲面的设计  67-77
  5.1 基本知识  67
  5.2 过曲率线的可展曲面构造  67-71
  5.3 实例  71-76
  5.4 本章小结  76-77
6 异度隐函数样条和曲线分段近似隐式化  77-93
  6.1 背景  77-78
  6.2 隐函数样条曲线曲面  78-86
    6.2.1 隐函数样条曲线  78-79
    6.2.2 异度隐函数样条曲线  79-82
    6.2.3 异度隐函数样条曲面  82-83
    6.2.4 实例  83-86
  6.3 分段近似隐式化  86-92
    6.3.1 参数曲线的分段近似隐式化  86-88
    6.3.2 实例  88-92
  6.4 本章小结  92-93
7 一种多层的一元3次样条拟插值及其在数值积分中的应用  93-105
  7.1 拟插值算子的研究现状  93-94
  7.2 样条空间和样条拟插值  94-96
  7.3 两层的3次样条拟插值  96-97
  7.4 曲线拟合  97-101
  7.5 拟插值算子QI_3在数值积分中的应用  101-103
  7.6 本章小结  103-105
结论和展望  105-107
  结论  105-106
  展望  106-107
参考文献  107-117
创新点摘要  117-119
攻读博士学位期间发表学术论文情况  119-120
致谢  120-121
作者简介  121-122

曲线曲面造型中的若干相关问题研究

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