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黎曼流形的特征值问题与刚性问题的研究

作　者: 储亚伟
导　师: 胡泽军
学　校: 郑州大学
专　业: 基础数学
关键词: f-拉普拉斯算子第一特征值梯度Yamabe孤子数量曲率刚性 Bach-平坦调和曲率
分类号: O186.12
类　型: 博士论文
年　份: 2013年
下　载: 28次
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内容摘要

本论文围绕流形的分析性质与拓扑性质,系统地研究了f-Laplacian的特征值估计与几类流形的刚性问题,主要结果如下：*第一,给出了加权流形上f-Laplacian第一特征值入1的一致下界.在N-Bakry-Emery Ricci曲率RicfN≥K(K∈R)时,该下界的结果不但覆盖了传统的Laplace算子第一特征值的现有结论(只需取N=0),而且适用于更加广泛的空间——N-quasi-Einstein流形和一般的加权流形.当RicfN具有负下界时,我们证明了关于入1估计的杨洪苍猜测.此外,对一般的Bakry-Emery Ricci张量Ricf,给出了满足Ricf>K (K∈R)的闭流形(包含梯度Ricci孤子)上入1的最优下界；利用此下界,我们得到紧致收缩型Ricci孤子的直径估计.第二,对梯度Yamabe孤子的数量曲率进行估计,获得了最优的下界,并给出达到下界时流形的例子：得到了梯度Yamabe孤子的势函数估计,证明了这类流形的刚性定理.此外,本文构造出稳定的拟梯度Yamabe孤子的例子,给出拟梯度Yamabe孤子的数量曲率下界与刚性结果.第三,证明了任意维Bach-平坦完备非紧流形的刚性定理.该定理不但推广了备受关注的四维Bach-平坦流形的结果,且适用于任意维Bach-平坦流形.第四,对于具有调和曲率的Riemann流形,通过构造新的估计函数,我们得到了其刚性定理.

全文目录

摘要  4-5
Abstract  5-9
第一章概述  9-19
  §1.1 研究背景与主要结果  9-15
  §1.2 结构安排与内容方法  15-16
  §1.3 符号说明与使用约定  16-19
第二章紧流形上f-Laplacian第一特征值的下界估计及其应用  19-45
  §2.1 简介  19-24
  §2.2 加权流形的几何结构  24-30
    §2.2.1 加权流形  25-27
    §2.2.2 Ricci孤子  27-29
    §2.2.3 N-quasi-Einstein流形  29-30
  §2.3 N-Bakry-Emery Ricci张量具有小负下界的估计  30-33
  §2.4 N-Bakry-Emery Ricci张量有负下界的估计  33-42
  §2.5 梯度Ricci孤子的特征值与直径的下界估计  42-45
第三章梯度Yamabe孤子数量曲率的下界估计  45-57
  §3.1 简介  45-49
  §3.2 与Bakry-Emery Ricci曲率相关的数量曲率估计  49-52
  §3.3 梯度Yamabe孤子的势函数估计  52-53
  §3.4 Yamabe孤子的刚性  53-57
第四章 Bach-平坦流形的刚性  57-71
  §4.1 简介  57-60
  §4.2 零迹曲率张量模长平方的拉普拉斯  60-63
  §4.3 Bach-平坦流形的刚性  63-71
第五章具有调和曲率完备非紧流形的刚性  71-79
  §5.1 简介  71-73
  §5.2 调和曲率流形的刚性  73-79
第六章结论与展望  79-81
  §6.1 本文的主要工作  79
  §6.2 进一步的研究课题  79-81
参考文献  81-91
个人简历、在学期间发表的学术论文及研究成果  91-93
致谢  93-94

黎曼流形的特征值问题与刚性问题的研究

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