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基于不动点定理的时标动力方程周期解的稳定性研究

作　者: 李绍塔
导　师: 洪世煌
学　校: 杭州电子科技大学
专　业: 应用数学
关键词: 时标动力方程周期解不动点稳定性中立方程
分类号: O177.91
类　型: 硕士论文
年　份: 2012年
下　载: 31次
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内容摘要

时间标架上的动力方程是一个新兴的研究领域，旨在整合和统一微分方程和差分方程的研究。其研究历史最早可以追溯到1988年，德国数学家Stenfan Hilger率先提出时标及时标上的微积分理论，并初步建立了时标理论及时标动力方程的基本理论。这一理论的主要目的在于统一和推广现有的微分和差分，常微分方程和差分方程的理论。从本世纪初开始，这一理论引起数学界的广泛关注而迅速发展。一方面，它统一和推广了经典的微分和差分理论；另一方面，它作为一个新的数学领域,具有广阔的应用前景。近年来,这一领域已有许多研究成果,特别在稳定性、振动性、初边值问题等方面取得了较大进展,时标动力方程的研究也带来真实现象和过程的数学模型的几个重要应用，例如:时标上的种群动力学，流行病模型，金融消费过程的数学模型等。目前，关于时标动力方程的研究绝大多数限于边值问题和振动性，而时标动力方程的周期解问题，脉冲问题、时滞问题等方面的研究成果就相对较少，很多问题的研究仅仅只是一个开端,因而还有大量问题的研究无论是从理论上还是从应用上来看都十分有意义。因此，本文主要针对时标动力方程周期解的存在性和稳定性问题作一些探讨。本文主要是研究时间标架上一类非线性中立型时标动力方程周期解问题，一阶时滞非线性时标动力方程正周期解的存在性问题，以及时间标架上一类半线性时标动力方程周期解问题。通过利用Krasnosel’skii不动点定理和压缩映像原理，分别得到上述非线性中立型时标动力方程周期解的存在性和唯一性，利用不动点指数定理得到该方程正周期解的存在性以及利用压缩映像原理来探索其周期解的稳定性。全文分为六章：第一章，主要综述时标动力方程的国内外研究现状，指出本文的研究目的和意义,最后提出本文的研究问题。第二章，主要阐述时间标架相关的理论知识。该章所述概念和理论内容都来自于StefanHilger和其他一些数学家的研究,后续研究工作以此为基础。第三章,主要研究一类非线性中立型时标动力方程周期解问题。该章通过利用Krasnosel’skii不动点定理和压缩映像原理，分别得到如下非线性中立型时标动力方程周期解的存在性和唯一性：x~Δ( t ) = a ( t ) x (σ(t )) + c ( t ) x (t - L ) + q (t , x ( t ), x (t- L )),t∈T第四章，主要考虑一类一阶时滞非线性时标动力方程正周期解的存在性问题。该章将利用不动点指数定理证明如下方程正周期解的存在性：x~Δ( t ) = a ( t ) g ( x ( t )) x (σ( t ))λb( t ) f ( x (t-τ( t ))),t∈T第五章，主要考虑一类半线性时标动力方程周期解问题。该章将利用压缩映像原理来探索如下半线性时标动力方程周期解的存在性和稳定性：x~Δ( t ) = a ( t ) x (σ( t )) + f ( t , ( x (t ))),t∈T第六章，对本文的主要工作进行总结，同时提出进一步研究的建议。

全文目录

摘要  5-7
ABSTRACT  7-10
第一章绪论  10-14
  1.1 时标动力方程的研究背景  10
  1.2 时标动力方程研究的意义、主要方向及研究现状  10-13
  1.3 本文的主要工作  13-14
第二章时标理论  14-21
  2.1 时标定义和时标上的微积分  14-17
  2.2 时标上的指数函数  17-19
  2.3 时标动力方程  19-20
  2.4 KRASNOSEL’SKI 不动点定理、压缩映像原理和不动点指数定理  20-21
第三章一类非线性中立型时标动力方程周期解的存在性  21-28
  3.1 引言  21
  3.2 主要结果  21-28
第四章一阶时滞非线性时标动力方程正周期解的存在性  28-39
  4.1 引言  28
  4.2 主要结果  28-39
第五章一类半线性时标动力方程周期解存在性和稳定性  39-43
  5.1 引言  39
  5.2 主要结果  39-43
第六章总结与展望  43-44
  6.1 总结  43
  6.2 展望  43-44
参考文献  44-48
致谢  48-49
附录  49

基于不动点定理的时标动力方程周期解的稳定性研究

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