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格上矩阵几个问题的研究

作　者: 周惊雷
导　师: 李庆国
学　校: 湖南大学
专　业: 应用数学
关键词: Heyting代数最小覆盖分配格线性相关线性无关 Incline 幂零矩阵幂零指标特征向量上标准特征向量
分类号: O151.21
类　型: 博士论文
年　份: 2008年
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内容摘要

本文对完备的Heyting代数上的线性系统、分配格和Incline上的幂零矩阵及分配格上方阵的特征值进行了研究,讨论了完备的Heyting代数上线性系统解的性质;分配格和Incline上幂零矩阵的性质及幂指标的特征;分配格上矩阵的标准特征向量等问题。全文共分为六章。在第一章中,我们首先简单回顾了格上矩阵研究的背景、格上矩阵发展的历史及其研究现状,然后,我们给出了本文所需要用到的一些基本概念、符号和基本引理。在第二章中,我们研究了完备的Heyting代数上线性系统Ax=b解的情况,讨论了该线性系统解的性质,得到了线性系统有解的几个充分必要条件;并且具体的找出了线性系统有解时该线性系统的最大、最小解;讨论了线性系统仅有唯一解时的情况,得到了该线性系统仅有唯一解的几个充分和必要条件,在仅有唯一解时,我们求出了该唯一解。在第三章中,我们定义了分配格上n维向量组的线性相关和线性无关,研究了分配格上向量组线性相关和线性无关的一些性质,并与古典线性代数中向量组的线性相关和线性无关性做比较,得到了一些新的结论。在每四章和第五章中,我们对分配格和Incline上的幂零矩阵进行了研究,讨论了其上幂零矩阵的一些性质和幂零矩阵幂指标的特征。通过定义方阵的一个特殊的子矩阵集,我们得到了一个给定的n×n幂零矩阵的幂指标为任意给定的正整数r(r≤n)的充分必要条件;同时我们定义了矩阵的伴随有向图,并根据图论的有关知识,也得到了一个给定的n×n幂零矩阵的幂指标为任意给定的正整数r(r≤n)的充分必要条件,这些结论回答了Tan在相关文献中提出的一个公开问题。在第六章中,我们讨论了分配格上方阵的特征值和特征向量问题,研究了一个给定方阵的标准特征向量。利用格论的有关知识和矩阵的伴随有向图,我们分别获得了分配格上给定方阵的上标准特征向量的求法。最后我们给出了M-矩阵在微分方程上的一个具体的应用。

全文目录

摘要  7-8
Abstract  8-9
符号表  9-10
第1章绪论  10-19
  1.1 格上矩阵研究的背景  10-12
  1.2 格上矩阵研究的历史简介  12-15
  1.3 本文的主要工作及创新点  15
  1.4 预备知识  15-19
第2章完备的Heyting代数上线性系统解的存在性  19-30
  2.1 引言  19-20
  2.2 基本概念  20-21
  2.3 完备的Heyting代数上线性系统(2.1)的最大解  21-27
  2.4 线性系统(2.1)仅有唯一解的讨论  27-30
第3章分配格上向量的线性相关性  30-35
  3.1 引言  30-31
  3.2 向量的线性相关性  31-35
第4章分配格上幂零矩阵的性质  35-50
  4.1 引言  35-37
  4.2 分配格上幂零矩阵的性质  37-44
  4.3 分配格上幂零矩阵幂指标的特征  44-50
第5章 Incline上幂零矩阵的特征  50-56
  5.1 引言  50-51
  5.2 Incline上幂零矩阵幂指标的特征  51-56
第6章分配格上矩阵的特征值和特征向量  56-73
  6.1 引言  56-57
  6.2 定义和符号  57-58
  6.3 上标准特征向量的求法  58-61
  6.4 上标准特征向量的基本性质  61-64
  6.5 上标准特征向量的另一种求法  64-67
  6.6 M-矩阵的一个应用  67-73
结论与进一步工作的展望  73-75
参考文献  75-82
致谢  82-83
附录攻读学位期间所发表和投稿的学术论文目录  83

格上矩阵几个问题的研究

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