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几类生物动力系统的定性分析及分岔研究

作　者: 黄德青
导　师: 张伟年
学　校: 四川大学
专　业: 应用数学
关键词: 生物动力系统退化奇点广义正常区域周期解分岔普适开折
分类号: O19
类　型: 博士论文
年　份: 2007年
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内容摘要

定性理论在常微分方程的研究中是十分重要的。它是由常微分方程来直接研究和判断解的性质的理论，其思想已经逐渐渗透到其它数学分支。对维数较低的系统特别是二维平面系统，定性理论的研究已取得丰富的结果。其中，一个基本内容是研究系统的所有极限集（或不变集）的拓扑结构或者定性结构，它们包括：（1）奇点，（2）周期解（闭轨线），或者（3）奇点与t→+∞、t→-∞时趋于这些奇点的轨道（如，同宿轨和异宿轨）。当这些极限集形式被讨论清楚之后，系统的基本的定性结构就可以确定了。然而，当系统具有某些退化性时，要简单的讨论它们任何一类都是不够充分的。所以，随着系统参数的连续变化，系统发生的分岔现象也是我们关心的主要内容之一，它是指对含参数的微分系统当参数变动并经过某些临界值时系统拓扑结构会发生突然变化的现象。弄清了系统的分岔甚至给出了它的普适开折，该系统所发生的所有物理现象都将昭然若示。在分岔问题中，比较困难的情况是余维大于或等于2的分岔和非局部分岔。用数学模型描述生态学、医学、人口学中的某些系统已有悠久的历史，而常微分方程是用来描述这些系统动力学行为的主要手段。如何根据实验数据或统计资料建立反映实际系统动力学行为的数学模型，以及如何改进或推广已有经典数学模型而使其动力学行为更适合实际或更符合实验数据等都是令人关注的问题。这些模型几乎涉及到微分方程研究的各个分支．对应于定性理论的研究，人们普遍关心的正是上述各类模型局部和全局解的存在性，奇点和周期解的存在性、稳定性和不存在性，全局渐近行为，以及分岔、混沌等动力学性质。在第二章，我们首先一般地介绍了向量场、退化奇点及其邻域内发生的分岔等相关内容。为了分析系统的全局动力学性质，相对于所有有限远处的定性讨论，无穷远奇点的分析在系统定性理论分析中也占有重要的地位。它们反映的是系统变量在大范围内的增长趋势。所以，关于无穷远奇点的一些分析和判断方法也在第二章中给出。在第三章，我们考虑一类广义Brusselator系统的周期解及无穷远奇点问题，该系统是描绘一个多分子反应过程的p+q次多项式微分系统．它在许多特殊参数条件下的定性结果已经非常丰富了。然而对于最一般的情况，即p，q都是不确定的正整数时，其定性性质的讨论还有待深入。在前人关于该系统的定性分析的基础上，我们完善了对该系统唯一奇点的讨论并证明该奇点为细焦点时的最高重数为1，进而更正了前人的Hopf分岔结果．此外，应用Poincare-Bendixson定理和Bendixson-Dulac判据，我们还讨论了系统周期解的存在性和不存在性．进一步地，为了分析Brusselator系统的全局动力学性质，我们还对该系统的无穷远奇点进行了讨论。在某些情形，我们发现：当无穷远奇点具有较高退化性时，常用的blowing-up（应用Briot-Bouquet变换将一个复杂奇点打散成几个简单奇点）方法、Z-扇区方法和正常区域的办法都不方便甚至不能使用。通过利用文献[Nonlinearity 17（2004），1407-1426]中提出的广义正常区域方法（简称为GNS方法），我们的困难得以克服，其中允许曲线或者系统轨道为广义正常区域的边界，而且该区域也不一定是要研究的特殊方向的角形邻域。最终，我们得到了系统无穷远奇点处的所有特殊方向以及沿这些特殊方向进出奇点的轨道的情况。文献[J.Diff.Equ.188（2003）,135-163]研究了一类具有非线性发生率的约化SIRS模型的Hopf分岔、Bogdanov-Takens分岔和周期解的存在唯一性问题．由于某些计算上的困难，作者并没有证明该系统中细焦点的重数大于1的可能性，所给出的周期解唯一性条件和两个周期解共存的条件也是由实际参数难以验证的。在第四章，我们首先克服在高阶Liapunov量计算时导致的技巧性困难而证得细焦点B₊的最高重数为2，因此一个退化的Hopf分岔在一定的参数条件下发生。此外，我们化系统为一个标准的Liénard方程形式，利用关于Liénard方程的已有的结果得到一组由系统原始参数组成的更易判断的周期解唯一性条件．进一步地，我们考虑约化SIRS模型的退化的Bogdanov-Takens分岔．这是一个余维为3的尖点所产生的分岔．由于文献[J.Diff.Equ.188（2003）,135-163]只讨论了该系统的非退化的Bogdanov-Takens分岔，所以系统的周期解不能被完全分析到。进而，两个周期解共存以及一个周期解和一个同宿环共存的分岔值无法得到。这里，我们化该系统为余维为3的Bogdanov-Takens分岔的普适开折形式，对其周期解和同宿环的分岔进行讨论，进而获得了以上条件。在第五章，我们继续考虑一类酶催化反应系统．由于该系统的奇点由一个三次多项式决定，而且该多项式的系数与系统参数s₀，a₀，α，κ，ρ具有复杂的对应关系，所以在许多情况下奇点的坐标甚至奇点的个数都难以确定．因此，所有关于此系统的定性性质和分岔分析（包括Bogdanov-Takens分岔）方面的已有结果都是在一个人为的参数s_*的基础上给出的，其中s_*代表系统一般奇点E的s坐标。这里，我们放弃计算奇点处特征值的常规做法，转而根据函数的连续性、单调性和一些不等式技巧给出了系统奇点关于原始参数的完整分析．此外，为了考察当酶和催化剂浓度大量增加时的全局变化趋势我们也利用广义正常区域的方法讨论了系统的无穷远奇点。在系统的Bogdanov-Takens分岔分析中，由于都没有化简对应的扰动Bogdanov-Takens系统为一普适开折形式，已有的结果只是利用数值模拟的方法进行讨论而不能对其进行更为透彻的分析，比如分析周期轨道和同宿轨道共存的参数条件。所以，为了展示系统Bogdanov-Takens分岔中的所有现象（特别是，在已有文献中没有涉及到的现象），我们化系统为它的正规形并且给出关于参数κ，ρ的普适开折。最后，关于系统原参数的周期解分岔曲线和同宿轨分岔曲线被明确的给出。

全文目录

致谢  2-3
摘要  3-6
英文摘要  6-11
第一章绪论  11-21
  1.1 生物动力系统  11-14
  1.2 近年的主要进展  14-18
  1.3 本文的主要工作  18-21
第二章退化奇点及无穷远奇点的分析方法  21-35
  2.1 向量场及退化奇点  21-22
  2.2 退化奇点的分岔  22-26
  2.3 广义正常区域法  26-31
  2.4 无穷远奇点分析  31-35
第三章一类广义Brusselator系统的周期解及无穷远奇点分析  35-53
  3.1 周期解的存在性和不存在性  35-39
  3.2 无穷远奇点分析  39-53
    3.2.1 无穷远奇点I_x的定性分析  40-47
    3.2.2 无穷远奇点I_y的定性分析  47-53
第四章一类约化SIRS模型的周期解和同宿轨共存  53-69
  4.1 准备工作  53-55
  4.2 退化的Hopf分岔  55-57
  4.3 周期解的唯一性  57-62
  4.4 退化的Bogdanov-Takens分岔  62-69
第五章一类酶催化反应模型的定性分析  69-87
  5.1 有限远处奇点的分析  69-73
  5.2 无穷远奇点分析  73-78
  5.3 Bogdanov-Takens分岔  78-87
结束语  87-89
参考文献  89-99
附录  99-105
在读期间的主要工作  105-106

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